Giải tích Ví dụ

Thay các giá trị ${\displaystyle (1,1)}$ vào ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=2x^2{y}^2}$.

Vì không có logarit với đối số âm hoặc bằng không, không có căn chẵn với số trong dấu căn âm hoặc bằng không, và không có phân số với số không ở mẫu số, nên hàm số liên tục trên một khoảng mở quanh giá trị ${\displaystyle x}$ của ${\displaystyle (1,1)}$.

Lập đạo hàm từng phần.

Vì ${\displaystyle 2x^2}$ không đổi đối với ${\displaystyle y}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle 2x^2{y}^2}$ đối với ${\displaystyle y}$ là ${\displaystyle 2x^2\frac{d}{dy}\left[y^2\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ là ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=2}$.

Nhân ${\displaystyle 2}$ với ${\displaystyle 2}$.

Thay ${\displaystyle 1}$ bằng ${\displaystyle y}$.

Vì không có logarit với đối số âm hoặc bằng không, không có căn chẵn với số trong dấu căn âm hoặc bằng không, và không có phân số với số không ở mẫu số, nên hàm số liên tục trên một khoảng mở quanh giá trị ${\displaystyle y}$ của ${\displaystyle (1,1)}$.