Giải tích Ví dụ

\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức

e^{\int P (x) d x}

$e^{\int P (x) d x}$ , trong đó

P (x) = 1

$P (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

e^{\int d x}

$e^{\int d x}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

e^{x + C}

$e^{x + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

e^{x}

$e^{x}$

e^{x}

$e^{x}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân

e^{x}

$e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với

e^{x}

$e^{x}$ .

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

Bước 2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ .

e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại

e^{x}

$e^{x}$ và

\sin (x)

$\sin (x)$ .

e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó

u = \sin (x)

$u = \sin (x)$ và

d v = e^{x}

$d v = e^{x}$ .

e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Bước 6.3

Sắp xếp lại

e^{x}

$e^{x}$ và

\cos (x)

$\cos (x)$ .

e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Bước 6.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó

u = \cos (x)

$u = \cos (x)$ và

d v = e^{x}

$d v = e^{x}$ .

e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Bước 6.5

Vì

- 1

$- 1$ không đổi đối với

x

$x$ , hãy di chuyển

- 1

$- 1$ ra khỏi tích phân.

e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Bước 6.6

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Nhân

- 1

$- 1$ với

- 1

$- 1$ .

e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Bước 6.6.2

Nhân

\int e^{x} (\sin (x)) d x

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ với

1

$1$ .

e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Bước 6.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Bước 6.7

Khi giải tìm

\int e^{x} \sin (x) d x

$\int e^{x} \sin (x) d x$ , chúng ta thấy rằng

\int e^{x} \sin (x) d x

$\int e^{x} \sin (x) d x$ =

\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Bước 6.8

Viết lại

\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C

$\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ ở dạng

\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Bước 7

Giải tìm

y

$y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Bước 7.1.2

Nhân

\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Kết hợp

\sin (x)

$\sin (x)$ và

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Bước 7.1.2.2

Kết hợp

\frac{\sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x)}{2}$ và

e^{x}

$e^{x}$ .

e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Bước 7.1.3

Nhân

\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})

$\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Kết hợp

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ và

\cos (x)

$\cos (x)$ .

e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

Bước 7.1.3.2

Kết hợp

e^{x}

$e^{x}$ và

\frac{\cos (x)}{2}

$\frac{\cos (x)}{2}$ .

e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Bước 7.1.4

Sắp xếp lại các thừa số trong

\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}

$\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ .

e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Bước 7.2

Chia mỗi số hạng trong

e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ cho

e^{x}

$e^{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chia mỗi số hạng trong

e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ cho

e^{x}

$e^{x}$ .

\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

e^{x}

$e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.2.1.2

Chia

y

$y$ cho

1

$1$ .

y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.3.1.2

Kết hợp.

y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung

e^{x}

$e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.3.1.4

Nhân

\sin (x)

$\sin (x)$ với

1

$1$ .

y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.3.1.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.3.1.6

Triệt tiêu thừa số chung

e^{x}

$e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong

- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}

$- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ vào tử số.

y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.3.1.6.2

Đưa

e^{x}

$e^{x}$ ra ngoài

- e^{x} \cos (x)

$- e^{x} \cos (x)$ .

y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.3.1.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.3.1.6.4

Viết lại biểu thức.

y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.3.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}