Giải tích Ví dụ
x⋅dydx=y+√xy
Bước 1
Bước 1.1
Chia mỗi số hạng trong x⋅dydx=y+√xy cho x và rút gọn.
Bước 1.1.1
Chia mỗi số hạng trong x⋅dydx=y+√xy cho x.
x⋅dydxx=yx+√xyx
Bước 1.1.2
Rút gọn vế trái.
Bước 1.1.2.1
Triệt tiêu thừa số chung x.
Bước 1.1.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
x⋅dydxx=yx+√xyx
Bước 1.1.2.1.2
Chia dydx cho 1.
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
Bước 1.2
Giả sử √x2=x.
dydx=yx+√xy√x2
Bước 1.3
Kết hợp √xy và √x2 vào một căn thức đơn.
dydx=yx+√xyx2
Bước 1.4
Rút gọn biểu thức xyx2 bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.
Bước 1.4.1
Đưa x ra ngoài xy.
dydx=yx+√x(y)x2
Bước 1.4.2
Đưa x ra ngoài x2.
dydx=yx+√x(y)x⋅x
Bước 1.4.3
Triệt tiêu thừa số chung.
dydx=yx+√xyx⋅x
Bước 1.4.4
Viết lại biểu thức.
dydx=yx+√yx
dydx=yx+√yx
dydx=yx+√yx
Bước 2
Để V=yx. Thay V cho yx.
dydx=V+√V
Bước 3
Giải V=yx để tìm y.
y=Vx
Bước 4
Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của y=Vx tương ứng với x.
dydx=xdVdx+V
Bước 5
Thay xdVdx+V bằng dydx.
xdVdx+V=V+√V
Bước 6
Bước 6.1
Tách các biến.
Bước 6.1.1
Giải tìm dVdx.
Bước 6.1.1.1
Di chuyển tất cả các số hạng không chứa dVdx sang vế phải của phương trình.
Bước 6.1.1.1.1
Trừ V khỏi cả hai vế của phương trình.
xdVdx=V+√V-V
Bước 6.1.1.1.2
Kết hợp các số hạng đối nhau trong V+√V-V.
Bước 6.1.1.1.2.1
Trừ V khỏi V.
xdVdx=0+√V
Bước 6.1.1.1.2.2
Cộng 0 và √V.
xdVdx=√V
xdVdx=√V
xdVdx=√V
Bước 6.1.1.2
Chia mỗi số hạng trong xdVdx=√V cho x và rút gọn.
Bước 6.1.1.2.1
Chia mỗi số hạng trong xdVdx=√V cho x.
xdVdxx=√Vx
Bước 6.1.1.2.2
Rút gọn vế trái.
Bước 6.1.1.2.2.1
Triệt tiêu thừa số chung x.
Bước 6.1.1.2.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
xdVdxx=√Vx
Bước 6.1.1.2.2.1.2
Chia dVdx cho 1.
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
Bước 6.1.2
Nhân cả hai vế với 1√V.
1√VdVdx=1√V⋅√Vx
Bước 6.1.3
Triệt tiêu thừa số chung √V.
Bước 6.1.3.1
Triệt tiêu thừa số chung.
1√VdVdx=1√V⋅√Vx
Bước 6.1.3.2
Viết lại biểu thức.
1√VdVdx=1x
1√VdVdx=1x
Bước 6.1.4
Viết lại phương trình.
1√VdV=1xdx
1√VdV=1xdx
Bước 6.2
Lấy tích phân cả hai vế.
Bước 6.2.1
Lập tích phân ở mỗi vế.
∫1√VdV=∫1xdx
Bước 6.2.2
Lấy tích phân vế trái.
Bước 6.2.2.1
Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.
Bước 6.2.2.1.1
Sử dụng n√ax=axn để viết lại √V ở dạng V12.
∫1V12dV=∫1xdx
Bước 6.2.2.1.2
Di chuyển V12 ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa -1.
∫(V12)-1dV=∫1xdx
Bước 6.2.2.1.3
Nhân các số mũ trong (V12)-1.
Bước 6.2.2.1.3.1
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, (am)n=amn.
∫V12⋅-1dV=∫1xdx
Bước 6.2.2.1.3.2
Kết hợp 12 và -1.
∫V-12dV=∫1xdx
Bước 6.2.2.1.3.3
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
∫V-12dV=∫1xdx
∫V-12dV=∫1xdx
∫V-12dV=∫1xdx
Bước 6.2.2.2
Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của V-12 đối với V là 2V12.
2V12+C1=∫1xdx
2V12+C1=∫1xdx
Bước 6.2.3
Tích phân của 1x đối với x là ln(|x|).
2V12+C1=ln(|x|)+C2
Bước 6.2.4
Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành C.
2V12=ln(|x|)+C
2V12=ln(|x|)+C
Bước 6.3
Giải tìm V.
Bước 6.3.1
Chia mỗi số hạng trong 2V12=ln(|x|)+C cho 2 và rút gọn.
Bước 6.3.1.1
Chia mỗi số hạng trong 2V12=ln(|x|)+C cho 2.
2V122=ln(|x|)2+C2
Bước 6.3.1.2
Rút gọn vế trái.
Bước 6.3.1.2.1
Triệt tiêu thừa số chung.
2V122=ln(|x|)2+C2
Bước 6.3.1.2.2
Chia V12 cho 1.
V12=ln(|x|)2+C2
V12=ln(|x|)2+C2
Bước 6.3.1.3
Rút gọn vế phải.
Bước 6.3.1.3.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 6.3.1.3.1.1
Viết lại ln(|x|)2 ở dạng 12ln(|x|).
V12=12ln(|x|)+C2
Bước 6.3.1.3.1.2
Rút gọn 12ln(|x|) bằng cách di chuyển 12 trong logarit.
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
Bước 6.3.2
Lấy mũ lũy thừa 2 hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.
(V12)2=(ln(|x|12)+C2)2
Bước 6.3.3
Rút gọn vế trái.
Bước 6.3.3.1
Rút gọn (V12)2.
Bước 6.3.3.1.1
Nhân các số mũ trong (V12)2.
Bước 6.3.3.1.1.1
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, (am)n=amn.
V12⋅2=(ln(|x|12)+C2)2
Bước 6.3.3.1.1.2
Triệt tiêu thừa số chung 2.
Bước 6.3.3.1.1.2.1
Triệt tiêu thừa số chung.
V12⋅2=(ln(|x|12)+C2)2
Bước 6.3.3.1.1.2.2
Viết lại biểu thức.
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
Bước 6.3.3.1.2
Rút gọn.
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
Bước 6.4
Rút gọn hằng số tích phân.
V=(ln(|x|12)+C)2
V=(ln(|x|12)+C)2
Bước 7
Thay yx bằng V.
yx=(ln(|x|12)+C)2
Bước 8
Bước 8.1
Nhân cả hai vế với x.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Bước 8.2
Rút gọn.
Bước 8.2.1
Rút gọn vế trái.
Bước 8.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung x.
Bước 8.2.1.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Bước 8.2.1.1.2
Viết lại biểu thức.
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
Bước 8.2.2
Rút gọn vế phải.
Bước 8.2.2.1
Sắp xếp lại các thừa số trong (ln(|x|12)+C)2x.
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2