Giải tích Ví dụ

(sin (y) + x) d x + (x cos (y)) d y = 0

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

Bước 1

Tìm

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó

M (x, y) = sin (y) + x

$M (x, y) = \sin (y) + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm

M

$M$ đối với

y

$y$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [sin (y) + x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

sin (y) + x

$\sin (y) + x$ đối với

y

$y$ là

\frac{d}{d y} [sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Bước 1.3

Đạo hàm của

sin (y)

$\sin (y)$ đối với

y

$y$ là

cos (y)

$\cos (y)$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y) + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì

x

$x$ là hằng số đối với

y

$y$ , đạo hàm của

x

$x$ đối với

y

$y$ là

0

$0$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y) + 0

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

Bước 1.4.2

Cộng

cos (y)

$\cos (y)$ và

0

$0$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y)

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y)

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y)

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Bước 2

Tìm

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó

N (x, y) = x cos (y)

$N (x, y) = x \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm

N

$N$ đối với

x

$x$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x cos (y)]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Bước 2.2

Vì

cos (y)

$\cos (y)$ không đổi đối với

x

$x$ , nên đạo hàm của

x cos (y)

$x \cos (y)$ đối với

x

$x$ là

cos (y) \frac{d}{d x} [x]

$\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = cos (y) \frac{d}{d x} [x]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 1

$n = 1$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = cos (y) \cdot 1

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

Bước 2.4

Nhân

cos (y)

$\cos (y)$ với

1

$1$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = cos (y)

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

\frac{\partial N}{\partial x} = cos (y)

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế

cos (y)

$\cos (y)$ vào

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ và

cos (y)

$\cos (y)$ vào

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ .

cos (y) = cos (y)

$\cos (y) = \cos (y)$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

cos (y) = cos (y)

$\cos (y) = \cos (y)$ là một đẳng thức.

cos (y) = cos (y)

$\cos (y) = \cos (y)$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt

f (x, y)

$f (x, y)$ bằng tích phân của

N (x, y)

$N (x, y)$ .

f (x, y) = \int x cos (y) d y

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

Bước 5

Lấy tích phân

N (x, y) = x cos (y)

$N (x, y) = x \cos (y)$ để tìm

f (x, y)

$f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì

x

$x$ không đổi đối với

y

$y$ , hãy di chuyển

x

$x$ ra khỏi tích phân.

f (x, y) = x \int cos (y) d y

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

Bước 5.2

Tích phân của

cos (y)

$\cos (y)$ đối với

y

$y$ là

sin (y)

$\sin (y)$ .

f (x, y) = x (sin (y) + C)

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

Bước 5.3

Rút gọn.

f (x, y) = x sin (y) + C

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

f (x, y) = x sin (y) + C

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

Bước 6

Vì tích phân của

g (x)

$g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế

C

$C$ bằng

g (x)

$g (x)$ .

f (x, y) = x sin (y) + g (x)

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

Bước 7

Đặt

\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

\frac{\partial f}{\partial x} = sin (y) + x

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

Bước 8

Tìm

\frac{\partial f}{\partial x}

$\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm

f

$f$ đối với

x

$x$ .

\frac{d}{d x} [x sin (y) + g (x)] = sin (y) + x

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

x sin (y) + g (x)

$x \sin (y) + g (x)$ đối với

x

$x$ là

\frac{d}{d x} [x sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

\frac{d}{d x} [x sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = sin (y) + x

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Bước 8.3

Tính

\frac{d}{d x} [x sin (y)]

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì

$\sin (y)$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$x \sin (y)$ đối với

$x$ là

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Bước 8.3.3

Nhân

$\sin (y)$ với

$1$ .

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của

$g (x)$ là

$\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

Bước 9

Giải tìm

$\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa

$\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ

$\sin (y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong

$\sin (y) + x - \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ

$\sin (y)$ khỏi

$\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng

$x$ và

$0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của

$x$ để tìm

$g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của

$\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Bước 10.2

Tính

$\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Bước 10.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

$x$ đối với

$x$ là

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 11

Thay cho

$g (x)$ trong

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 12

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$x^{2}$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

Nhập bài toán CỦA BẠN