Giải tích Ví dụ

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = \sin (y) + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (y) + x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\sin (y)$ đối với $y$ là $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $\cos (y)$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Bước 2.2

Vì $\cos (y)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x \cos (y)$ đối với $x$ là $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

Bước 2.4

Nhân $\cos (y)$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $\cos (y)$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $\cos (y)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) = \cos (y)$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cos (y) = \cos (y)$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = x \cos (y)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $x$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

Bước 5.2

Tích phân của $\cos (y)$ đối với $y$ là $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

Bước 5.3

Rút gọn.

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \sin (y) + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $\sin (y)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x \sin (y)$ đối với $x$ là $\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Bước 8.3.3

Nhân $\sin (y)$ với $1$ .

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $\sin (y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sin (y) + x - \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $\sin (y)$ khỏi $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $x$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Bước 10.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

Nhập bài toán CỦA BẠN