Giải tích Ví dụ

$(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0$

Bước 1

Tìm

$\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm

$M$ đối với

$y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$3 x^{2} y + y^{2}$ đối với

$y$ là

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3

Tính

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì

$3 x^{2}$ không đổi đối với

$y$ , nên đạo hàm của

$3 x^{2} y$ đối với

$y$ là

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là

$n y^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.3

Nhân

$3$ với

$1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là

$n y^{n - 1}$ trong đó

$n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y$

Bước 2

Tìm

$\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó

$N (x, y) = x^{3} + 2 x y + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm

$N$ đối với

$x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x y + 3]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$x^{3} + 2 x y + 3$ đối với

$x$ là

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.3

Tính

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì

$2 y$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$2 x y$ đối với

$x$ là

$2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.3.3

Nhân

$2$ với

$1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì

$3$ là hằng số đối với

$x$ , đạo hàm của

$3$ đối với

$x$ là

$0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + 0$

Bước 2.4.2

Cộng

$3 x^{2} + 2 y$ và

$0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế

$3 x^{2} + 2 y$ vào

$\frac{\partial M}{\partial y}$ và

$3 x^{2} + 2 y$ vào

$\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt

$f (x, y)$ bằng tích phân của

$M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} d x$

Bước 5

Lấy tích phân

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ để tìm

$f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} d x$

Bước 5.2

Vì

$3 y$ không đổi đối với

$x$ , hãy di chuyển

$3 y$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

$x^{2}$ đối với

$x$ là

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} d x$

Bước 5.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} x + C$

Bước 5.5

Kết hợp

$\frac{1}{3}$ và

$x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{2} x + C$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C$

Bước 6

Vì tích phân của

$g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế

$C$ bằng

$g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$

Bước 7

Đặt

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 x y + 3$

Bước 8

Tìm

$\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm

$f$ đối với

$y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} x + g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ đối với

$y$ là

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Bước 8.3

Tính

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì

$x^{3}$ không đổi đối với

$y$ , nên đạo hàm của

$y x^{3}$ đối với

$y$ là

$x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là

$n y^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Bước 8.3.3

Nhân

$x^{3}$ với

$1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Bước 8.4

Tính

$\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Vì

$x$ không đổi đối với

$y$ , nên đạo hàm của

$y^{2} x$ đối với

$y$ là

$x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Bước 8.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là

$n y^{n - 1}$ trong đó

$n = 2$ .

$x^{3} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Bước 8.4.3

Di chuyển

$2$ sang phía bên trái của

$x$ .

$x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của

$g (y)$ là

$\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3$

Bước 8.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3$

Bước 9

Giải tìm

$\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa

$\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ

$x^{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3}$

Bước 9.1.2

Trừ

$2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong

$x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Trừ

$x^{3}$ khỏi

$x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 + 0 - 2 x y$

Bước 9.1.3.2

Cộng

$2 x y + 3$ và

$0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 - 2 x y$

Bước 9.1.3.3

Trừ

$2 x y$ khỏi

$2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

Bước 9.1.3.4

Cộng

$0$ và

$3$ .

$\frac{d g}{d y} = 3$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của

$3$ để tìm

$g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của

$\frac{d g}{d y} = 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

Bước 10.2

Tính

$\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 d y$

Bước 10.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = 3 y + C$

Bước 11

Thay cho

$g (y)$ trong

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + 3 y + C$

Nhập bài toán CỦA BẠN