Giải tích Ví dụ

$3 y'' + y = 0$ ,

$y = \sin (k x)$

Bước 1

Tìm

$y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

Bước 1.2

Đạo hàm của

$y$ đối với

$x$ là

$y'$ .

$y'$

Bước 1.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là

$f' (g (x)) g' (x)$ trong đó

$f (x) = \sin (x)$ và

$g (x) = k x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập

$u$ ở dạng

$k x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

Bước 1.3.1.2

Đạo hàm của

$\sin (u)$ đối với

$u$ là

$\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

Bước 1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$k x$ .

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Vì

$k$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$k x$ đối với

$x$ là

$k \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

Bước 1.3.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1

Nhân

$k$ với

$1$ .

$\cos (k x) k$

Bước 1.3.2.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của

$\cos (k x) k$ .

$k \cos (k x)$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = k \cos (k x)$

Bước 2

Tìm

$y''$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập đạo hàm.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

Bước 2.2

Vì

$k$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$k \cos (k x)$ đối với

$x$ là

$k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là

$f' (g (x)) g' (x)$ trong đó

$f (x) = \cos (x)$ và

$g (x) = k x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập

$u$ ở dạng

$k x$ .

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của

$\cos (u)$ đối với

$u$ là

$- \sin (u)$ .

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$k x$ .

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

Bước 2.4

Vì

$k$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$k x$ đối với

$x$ là

$k \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.5

Nâng

$k$ lên lũy thừa

$1$ .

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.6

Nâng

$k$ lên lũy thừa

$1$ .

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.8

Cộng

$1$ và

$1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

Bước 2.10

Nhân

$- 1$ với

$1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

Bước 2.11

Sắp xếp lại các thừa số của

$k^{2} (- \sin (k x))$ .

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

Bước 3

Thay vào phương trình vi phân đã cho.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

Bước 4

Thay

$y$ bằng

$\sin (k x)$ .

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

Bước 5

Giải tìm

$k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân

$- 1$ với

$3$ .

$- 3 k^{2} y + y = 0$

Bước 5.2

Trừ

$y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 k^{2} y = - y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong

$- 3 k^{2} y = - y$ cho

$- 3 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong

$- 3 k^{2} y = - y$ cho

$- 3 y$ .

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

$- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung

$y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia

$k^{2}$ cho

$1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung

$y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Bước 5.3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Bước 5.3.3.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

Bước 5.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Bước 5.5

Rút gọn

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ ở dạng

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.5.2

Bất cứ nghiệm nào của

$1$ đều là

$1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bước 5.5.3

Nhân

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ với

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.5.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Nhân

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ với

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 5.5.4.2

Nâng

$\sqrt{3}$ lên lũy thừa

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 5.5.4.3

Nâng

$\sqrt{3}$ lên lũy thừa

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 5.5.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 5.5.4.5

Cộng

$1$ và

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 5.5.4.6

Viết lại

${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.6.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{3}$ ở dạng

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.5.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.5.4.6.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.5.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.5.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 5.5.4.6.5

Tính số mũ.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 5.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của

$\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 5.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của

$\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 5.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dạng thập phân:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

Nhập bài toán CỦA BẠN