Giải tích Ví dụ

$y' = 2 x y$ ,

$y = c e^{x^{2}}$ ,

$y (0) = 1$

Bước 1

Kiểm tra xem đáp án đã cho có thỏa mãn phương trình vi phân đã cho không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm

$y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của

$y$ đối với

$x$ là

$y'$ .

$y'$

Bước 1.1.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì

$c$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$c e^{x^{2}}$ đối với

$x$ là

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là

$f' (g (x)) g' (x)$ trong đó

$f (x) = e^{x}$ và

$g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập

$u$ ở dạng

$x^{2}$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là

$a^{u} \ln (a)$ trong đó

$a$ =

$e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$x^{2}$ .

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 2$ .

$c e^{x^{2}} (2 x)$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của

$c e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} c x$

Bước 1.1.3.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong

$2 e^{x^{2}} c x$ .

$2 c x e^{x^{2}}$

Bước 1.1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

Bước 1.2

Thay vào phương trình vi phân đã cho.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

Bước 1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ .

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

Bước 1.4

Đáp án đã cho thỏa mãn phương trình vi phân đã cho.

$y = c e^{x^{2}}$ là đáp án của

$y' = 2 x y$

$y = c e^{x^{2}}$ là đáp án của

$y' = 2 x y$

Bước 2

Thay vào điều kiện ban đầu.

$1 = c e^{0^{2}}$

Bước 3

Giải tìm

$c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng

$c e^{0^{2}} = 1$ .

$c e^{0^{2}} = 1$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong

$c e^{0^{2}} = 1$ cho

$e^{0^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong

$c e^{0^{2}} = 1$ cho

$e^{0^{2}}$ .

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

$e^{0^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia

$c$ cho

$1$ .

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Nâng

$0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho

$0$ .

$c = \frac{1}{e^{0}}$

Bước 3.2.3.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ

$0$ lên đều là

$1$ .

$c = \frac{1}{1}$

Bước 3.2.3.2

Chia

$1$ cho

$1$ .

$c = 1$

Nhập bài toán CỦA BẠN