Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 1$ , $t = 5$ , $h = 0.5$

Bước 1

Xác định $f (t, y)$ sao cho $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = e^{t}$

Bước 2

Tìm $f (0, 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thế $0$ vào $t$ và $1$ vào $y$ .

$f (0, 1) = e^{0}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f (0, 1) = {2.71828182}^{0}$

Bước 2.2.2

Nâng $2.71828182$ lên lũy thừa $0$ .

$f (0, 1) = 1$

Bước 3

Sử dụng công thức đệ quy $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ để tìm $y_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế.

$y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $0.5$ với $1$ .

$y_{1} = 1 + 0.5$

Bước 3.2.2

Cộng $1$ và $0.5$ .

$y_{1} = 1.5$

Bước 4

Sử dụng công thức đệ quy $t_{1} = t_{0} + h$ để tìm $t_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế.

$t_{1} = 0 + 0.5$

Bước 4.2

Cộng $0$ và $0.5$ .

$t_{1} = 0.5$

Bước 5

Tìm $f (0.5, 1.5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thế $0.5$ vào $t$ và $1.5$ vào $y$ .

$f (0.5, 1.5) = e^{0.5}$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}$

Bước 5.2.2

Nâng $2.71828182$ lên lũy thừa $0.5$ .

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

Bước 6

Sử dụng công thức đệ quy $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ để tìm $y_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thế.

$y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $0.5$ với $1.64872127$ .

$y_{2} = 1.5 + 0.82436063$

Bước 6.2.2

Cộng $1.5$ và $0.82436063$ .

$y_{2} = 2.32436063$

Bước 7

Sử dụng công thức đệ quy $t_{2} = t_{1} + h$ để tìm $t_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thế.

$t_{2} = 0.5 + 0.5$

Bước 7.2

Cộng $0.5$ và $0.5$ .

$t_{2} = 1$

Bước 8

Tiếp tục áp dụng cách này cho đến khi tính được xấp xỉ giá trị mong muốn.

Bước 9

Liệt kê các giá trị xấp xỉ trong một bảng.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}$

Nhập bài toán CỦA BẠN