Giải tích Ví dụ

y = x^{\sqrt{x}}

$y = x^{\sqrt{x}}$

Bước 1

Để

y = f (x)

$y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế

ln (y) = ln (f (x))

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

ln (y) = ln (x^{\sqrt{x}})

$\ln (y) = \ln (x^{\sqrt{x}})$

Bước 2

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ ở dạng

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

ln (y) = ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})

$\ln (y) = \ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 2.2

Khai triển

ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})

$\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ bằng cách di chuyển

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ ra bên ngoài lôgarit.

ln (y) = x^{\frac{1}{2}} ln (x)

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

ln (y) = x^{\frac{1}{2}} ln (x)

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that

y

$y$ is a function of

x

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái

ln (y)

$\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm

$x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và

$g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.3

Đạo hàm của

$\ln (x)$ đối với

$x$ là

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Kết hợp

$x^{\frac{1}{2}}$ và

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.4.2

Di chuyển

$x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm

$b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.5

Nhân

$x$ với

$x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Nhân

$x$ với

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1.1

Nâng

$x$ lên lũy thừa

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.5.2

Viết

$1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.5.4

Trừ

$1$ khỏi

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 3.2.7

Để viết

$- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 3.2.8

Kết hợp

$- 1$ và

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.10.1

Nhân

$- 1$ với

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 3.2.10.2

Trừ

$2$ khỏi

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 3.2.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 3.2.12

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.2.13

Kết hợp

$\ln (x)$ và

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.2.14

Di chuyển

$x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Tách riêng

$y'$ và thay hàm số ban đầu cho

$y$ ở vế phải.

$y' = (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\sqrt{x}}$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Bước 5.2

Kết hợp

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ và

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Bước 5.3

Kết hợp

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa

$x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Nhân với

$1$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.4.2.4

Chia

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ cho

$1$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.4.3

Đưa

$x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài

$\ln (x) x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.4.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Đưa

$x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài

$2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 5.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 5.4.4.3

Viết lại biểu thức.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 5.4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.5.1

Để viết

$\sqrt{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 5.4.5.2

Kết hợp

$\sqrt{x}$ và

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 5.4.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Bước 5.4.5.4

Di chuyển

$2$ sang phía bên trái của

$\sqrt{x}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Bước 5.5

Để viết

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Bước 5.6

Kết hợp

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ và

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Bước 5.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Bước 5.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{x}$ ở dạng

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Bước 5.8.2

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{x}$ ở dạng

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Bước 5.8.3

Di chuyển

$2$ sang phía bên trái của

$x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 \cdot x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Bước 5.8.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.4.1

Để viết

$x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Bước 5.8.4.2

Kết hợp

$x^{\frac{1}{2}}$ và

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Bước 5.8.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Bước 5.8.4.4

Di chuyển

$2$ sang phía bên trái của

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Bước 5.8.5

Đưa

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ ra ngoài

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.5.1

Sắp xếp lại

$\ln (x)$ và

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Bước 5.8.5.2

Đưa

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ ra ngoài

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Bước 5.8.5.3

Đưa

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ ra ngoài

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))}{2}$

Bước 5.8.5.4

Đưa

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ ra ngoài

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

Nhập bài toán CỦA BẠN