Giải tích Ví dụ

y = x^{ln (x)}

$y = x^{\ln (x)}$

Bước 1

Để

y = f (x)

$y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế

ln (y) = ln (f (x))

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

ln (y) = ln (x^{ln (x)})

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Bước 2

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Khai triển

ln (x^{ln (x)})

$\ln (x^{\ln (x)})$ bằng cách di chuyển

ln (x)

$\ln (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

ln (y) = ln (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Bước 2.2

Nâng

ln (x)

$\ln (x)$ lên lũy thừa

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{1} (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Bước 2.3

Nâng

ln (x)

$\ln (x)$ lên lũy thừa

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{1} (x) {ln}^{1} (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Bước 2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

ln (y) = {ln (x)}^{1 + 1}

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Bước 2.5

Cộng

1

$1$ và

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that

y

$y$ is a function of

x

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái

ln (y)

$\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm

$\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là

$f' (g (x)) g' (x)$ trong đó

$f (x) = x^{2}$ và

$g (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập

$u$ ở dạng

$\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là

$n u^{n - 1}$ trong đó

$n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.3

Đạo hàm của

$\ln (x)$ đối với

$x$ là

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Bước 3.2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Kết hợp

$\frac{1}{x}$ và

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Bước 3.2.4.2

Kết hợp

$\frac{2}{x}$ và

$\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Bước 3.2.5

Rút gọn

$2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển

$2$ trong logarit.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Bước 4

Tách riêng

$y'$ và thay hàm số ban đầu cho

$y$ ở vế phải.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$ và

$x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của

$x^{\ln (x)}$ và

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa

$x$ ra ngoài

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng

$x$ lên lũy thừa

$1$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Bước 5.2.2.2

Đưa

$x$ ra ngoài

$x^{1}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Bước 5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Bước 5.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Bước 5.2.2.5

Chia

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ cho

$1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ .

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

Nhập bài toán CỦA BẠN