Giải tích Ví dụ

$y = 5 x + 5$ , $[- 1, 1]$

Bước 1

Giá trị hiệu dụng (RMS) của một hàm số $f$ trong một khoảng xác định $[a, b]$ là căn bậc hai của trung bình cộng (trung bình) của bình phương của các giá trị ban đầu.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Bước 2

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị hiệu dụng của một hàm số.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(5 x + 5)}^{2} d x)}$

Bước 3

Tính tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Giả sử $u = 5 x + 5$ . Sau đó $d u = 5 d x$ , nên $\frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Hãy đặt $u = 5 x + 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Tính đạo hàm $5 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 5]$

Bước 3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.1.1.3.3

Nhân $5$ với $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$5 + 0$

Bước 3.1.1.4.2

Cộng $5$ và $0$ .

$5$

Bước 3.1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 5 x + 5$ .

$u_{lower} = 5 \cdot - 1 + 5$

Bước 3.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Nhân $5$ với $- 1$ .

$u_{lower} = - 5 + 5$

Bước 3.1.3.2

Cộng $- 5$ và $5$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 3.1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 5 x + 5$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1 + 5$

Bước 3.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Nhân $5$ với $1$ .

$u_{upper} = 5 + 5$

Bước 3.1.5.2

Cộng $5$ và $5$ .

$u_{upper} = 10$

Bước 3.1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

Bước 3.1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u$

Bước 3.2

Kết hợp $u^{2}$ và $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{10} \frac{u^{2}}{5} d u$

Bước 3.3

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{10} u^{2} d u$

Bước 3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{10}$

Bước 3.5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Tính $\frac{1}{3} u^{3}$ tại $10$ và tại $0$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 3.5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $1000$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 3.5.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Bước 3.5.2.4

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Bước 3.5.2.5

Nhân $0$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0)$

Bước 3.5.2.6

Cộng $\frac{1000}{3}$ và $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1000}{3}$

Bước 3.5.2.7

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{1000}{3}$ .

$\frac{1000}{5 \cdot 3}$

Bước 3.5.2.8

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{1000}{15}$

Bước 3.5.2.9

Triệt tiêu thừa số chung của $1000$ và $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.9.1

Đưa $5$ ra ngoài $1000$ .

$\frac{5 (200)}{15}$

Bước 3.5.2.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.9.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $15$ .

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

Bước 3.5.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

Bước 3.5.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{200}{3}$

Bước 4

Rút gọn công thức giá trị hiệu dụng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{1 + 1}$ với $\frac{200}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{(1 + 1) \cdot 3}}$

Bước 4.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{2 \cdot 3}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức $\frac{200}{2 \cdot 3}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $200$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

Bước 4.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 (3)}}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

Bước 4.3.4

Viết lại biểu thức.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}$

Bước 4.4

Viết lại $\sqrt{\frac{100}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.5.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

Bước 4.6

Nhân $\frac{10}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $\frac{10}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.7.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.7.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 4.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 4.7.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Bước 4.7.6.5

Tính số mũ.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Dạng thập phân:

$f_{rms} = 5.77350269 \dots$

Bước 6

Nhập bài toán CỦA BẠN