Giải tích Ví dụ

y = 4 x - 2

$y = 4 x - 2$ ,

(1, 3)

$(1, 3)$

Bước 1

Giá trị hiệu dụng (RMS) của một hàm số

f

$f$ trong một khoảng xác định

[a, b]

$[a, b]$ là căn bậc hai của trung bình cộng (trung bình) của bình phương của các giá trị ban đầu.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Bước 2

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị hiệu dụng của một hàm số.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

Bước 3

Tính tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Giả sử

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ . Sau đó

d u = 4 d x

$d u = 4 d x$ , nên

\frac{1}{4} d u = d x

$\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng

u

$u$ và

d

$d$

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Hãy đặt

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ . Tìm

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Tính đạo hàm

4 x - 2

$4 x - 2$ .

\frac{d}{d x} [4 x - 2]

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Bước 3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

4 x - 2

$4 x - 2$ đối với

x

$x$ là

\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 3.1.1.3

Tính

\frac{d}{d x} [4 x]

$\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.1

Vì

4

$4$ không đổi đối với

x

$x$ , nên đạo hàm của

4 x

$4 x$ đối với

x

$x$ là

4 \frac{d}{d x} [x]

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 3.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 1

$n = 1$ .

4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 3.1.1.3.3

Nhân

4

$4$ với

1

$1$ .

4 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

4 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.1

Vì

- 2

$- 2$ là hằng số đối với

x

$x$ , đạo hàm của

- 2

$- 2$ đối với

x

$x$ là

0

$0$ .

4 + 0

$4 + 0$

Bước 3.1.1.4.2

Cộng

4

$4$ và

0

$0$ .

4

$4$

4

$4$

4

$4$

Bước 3.1.2

Thay giới hạn dưới vào cho

x

$x$ trong

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ .

u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

Bước 3.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Nhân

4

$4$ với

1

$1$ .

u_{lower} = 4 - 2

$u_{lower} = 4 - 2$

Bước 3.1.3.2

Trừ

2

$2$ khỏi

4

$4$ .

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

Bước 3.1.4

Thay giới hạn trên vào cho

x

$x$ trong

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ .

u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

Bước 3.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Nhân

4

$4$ với

3

$3$ .

u_{upper} = 12 - 2

$u_{upper} = 12 - 2$

Bước 3.1.5.2

Trừ

2

$2$ khỏi

12

$12$ .

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

Bước 3.1.6

Các giá trị tìm được cho

u_{lower}

$u_{lower}$ và

u_{upper}

$u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

Bước 3.1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng

u

$u$ ,

d u

$d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

Bước 3.2

Kết hợp

u^{2}

$u^{2}$ và

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

Bước 3.3

Vì

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ không đổi đối với

u

$u$ , hãy di chuyển

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

Bước 3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

u^{2}

$u^{2}$ đối với

u

$u$ là

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

Bước 3.5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Tính

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ tại

10

$10$ và tại

2

$2$ .

\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Bước 3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nâng

10

$10$ lên lũy thừa

3

$3$ .

\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Bước 3.5.2.2

Kết hợp

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ và

1000

$1000$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Bước 3.5.2.3

Nâng

2

$2$ lên lũy thừa

3

$3$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Bước 3.5.2.4

Nhân

8

$8$ với

- 1

$- 1$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Bước 3.5.2.5

Kết hợp

- 8

$- 8$ và

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

Bước 3.5.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

Bước 3.5.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

Bước 3.5.2.8

Trừ

8

$8$ khỏi

1000

$1000$ .

\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

Bước 3.5.2.9

Nhân

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ với

\frac{992}{3}

$\frac{992}{3}$ .

\frac{992}{4 \cdot 3}

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

Bước 3.5.2.10

Nhân

4

$4$ với

3

$3$ .

\frac{992}{12}

$\frac{992}{12}$

Bước 3.5.2.11

Triệt tiêu thừa số chung của

992

$992$ và

12

$12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.11.1

Đưa

4

$4$ ra ngoài

992

$992$ .

\frac{4 (248)}{12}

$\frac{4 (248)}{12}$

Bước 3.5.2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.11.2.1

Đưa

4

$4$ ra ngoài

12

$12$ .

\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Bước 3.5.2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Bước 3.5.2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

Bước 4

Rút gọn công thức giá trị hiệu dụng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân

\frac{1}{3 - 1}

$\frac{1}{3 - 1}$ với

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

Bước 4.2

Trừ

1

$1$ khỏi

3

$3$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức

\frac{248}{2 \cdot 3}

$\frac{248}{2 \cdot 3}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa

2

$2$ ra ngoài

248

$248$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Bước 4.3.2

Đưa

2

$2$ ra ngoài

2 \cdot 3

$2 \cdot 3$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Bước 4.3.4

Viết lại biểu thức.

f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

Bước 4.4

Viết lại

\sqrt{\frac{124}{3}}

$\sqrt{\frac{124}{3}}$ ở dạng

\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Viết lại

124

$124$ ở dạng

2^{2} \cdot 31

$2^{2} \cdot 31$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.1

Đưa

4

$4$ ra ngoài

124

$124$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.5.1.2

Viết lại

4

$4$ ở dạng

2^{2}

$2^{2}$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.5.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.6

Nhân

\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ với

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân

\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ với

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.7.2

Nâng

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ lên lũy thừa

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.7.3

Nâng

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ lên lũy thừa

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 4.7.5

Cộng

1

$1$ và

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 4.7.6

Viết lại

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng

3

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.6.1

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ ở dạng

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.7.6.3

Kết hợp

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ và

2

$2$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung

2

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}