Giải tích Ví dụ

$y = 3 x^{3} + x + 3$ ,

$(5, 7)$

Bước 1

Viết

$y = 3 x^{3} + x + 3$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

$f (x)$ liên tục trên

$[5, 7]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 4

Giá trị trung bình của hàm số

$f$ trong khoảng

$[a, b]$ được định nghĩa là

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} + x + 3 d x)$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Bước 7

Vì

$3$ không đổi đối với

$x$ , hãy di chuyển

$3$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \int_{5}^{7} x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

$x^{3}$ đối với

$x$ là

$\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Bước 9

Kết hợp

$\frac{1}{4}$ và

$x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

$x$ đối với

$x$ là

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + 3 x]_{5}^{7})$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp

$\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7}$ và

$3 x]_{5}^{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

Bước 12.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Tính

$\frac{x^{4}}{4}$ tại

$7$ và tại

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

Bước 12.2.2

Tính

$\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ tại

$7$ và tại

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Nâng

$7$ lên lũy thừa

$4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.2

Nâng

$5$ lên lũy thừa

$4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401 - 625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.4

Trừ

$625$ khỏi

$2401$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1776}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của

$1776$ và

$4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.5.1

Đưa

$4$ ra ngoài

$1776$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.5.2.1

Đưa

$4$ ra ngoài

$4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 (1)}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{444}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.5.2.4

Chia

$444$ cho

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \cdot 444 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.6

Nhân

$3$ với

$444$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.7

Nâng

$7$ lên lũy thừa

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 49 + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.8

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$49$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.9

Nhân

$3$ với

$7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.10

Để viết

$21$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.11

Kết hợp

$21$ và

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + \frac{21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.13.1

Nhân

$21$ với

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 42}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.13.2

Cộng

$49$ và

$42$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.14

Nâng

$5$ lên lũy thừa

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 25 + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.15

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$25$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 3 \cdot 5))$

Bước 12.2.3.16

Nhân

$3$ với

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15))$

Bước 12.2.3.17

Để viết

$15$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}))$

Bước 12.2.3.18

Kết hợp

$15$ và

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}))$

Bước 12.2.3.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 15 \cdot 2}{2})$

Bước 12.2.3.20

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.20.1

Nhân

$15$ với

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 30}{2})$

Bước 12.2.3.20.2

Cộng

$25$ và

$30$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{55}{2})$

Bước 12.2.3.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91 - 55}{2})$

Bước 12.2.3.22

Trừ

$55$ khỏi

$91$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{36}{2})$

Bước 12.2.3.23

Triệt tiêu thừa số chung của

$36$ và

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.23.1

Đưa

$2$ ra ngoài

$36$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2})$

Bước 12.2.3.23.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.23.2.1

Đưa

$2$ ra ngoài

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)})$

Bước 12.2.3.23.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1})$

Bước 12.2.3.23.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{18}{1})$

Bước 12.2.3.23.2.4

Chia

$18$ cho

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + 18)$

Bước 12.2.3.24

Cộng

$1332$ và

$18$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1350)$

Bước 13

Trừ

$5$ khỏi

$7$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 1350$

Bước 14

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đưa

$2$ ra ngoài

$1350$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (675))$

Bước 14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 675)$

Bước 14.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = 675$

Bước 15

Nhập bài toán CỦA BẠN