Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x - 2$ , $(- 2, 4)$

Bước 1

Kiểm tra xem $f (x) = 4 x - 2$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 1.2

$f (x)$ liên tục trên $[- 2, 4]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = 4 x - 2$ có khả vi không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.1.2.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 2.1.1.3.2

Cộng $4$ và $0$ .

$f' (x) = 4$

Bước 2.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $4$ .

$4$

Bước 2.2

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $[- 2, 4]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2.2.2

$f' (x)$ liên tục trên $[- 2, 4]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 2.3

Hàm số khả vi trên $[- 2, 4]$ vì đạo hàm liên tục trên $[- 2, 4]$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 3

Để đảm bảo độ dài cung, cả hàm số và đạo hàm của nó phải liên tục trong khoảng đóng $[- 2, 4]$ .

Hàm số và đạo hàm của nó liên tục trên khoảng đóng $[- 2, 4]$ .

Bước 4

Tìm đạo hàm của $f (x) = 4 x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 4.2.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 4.3.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 5

Để tìm độ dài cung của một hàm số, hãy sử dụng công thức $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 2}^{4} \sqrt{1 + {(4)}^{2}} d x$

Bước 6

Tính tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\sqrt{17} x]_{- 2}^{4}$

Bước 6.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tính $\sqrt{17} x$ tại $4$ và tại $- 2$ .

$(\sqrt{17} \cdot 4) - \sqrt{17} \cdot - 2$

Bước 6.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sqrt{17}$ .

$4 \cdot \sqrt{17} - \sqrt{17} \cdot - 2$

Bước 6.2.2.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$4 \sqrt{17} + 2 \sqrt{17}$

Bước 6.2.2.3

Cộng $4 \sqrt{17}$ và $2 \sqrt{17}$ .

$6 \sqrt{17}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$6 \sqrt{17}$

Dạng thập phân:

$24.73863375 \dots$

Bước 8

Nhập bài toán CỦA BẠN