Giải tích Ví dụ

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

Bước 1

Viết $y = {(x + 3)}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Bước 2

Kiểm tra xem điểm đã cho có nằm trên đồ thị của hàm số đã cho không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Cộng $1$ và $3$ .

$f (1) = 4^{2}$

Bước 2.1.2.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (1) = 16$

Bước 2.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $16$ .

$16$

Bước 2.2

Vì $16 = 16$ , nên điểm nằm trên đồ thị.

Điểm nằm trên đồ thị

Bước 3

Hệ số góc của đường tiếp tuyến là đạo hàm của biểu thức.

$m$ $=$ Đạo hàm của $f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Bước 4

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 5

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

Bước 5.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Viết lại ${(x + h + 3)}^{2}$ ở dạng $(x + h + 3) (x + h + 3)$ .

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

Bước 5.1.2.2

Khai triển $(x + h + 3) (x + h + 3)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Bước 5.1.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.3.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Bước 5.1.2.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Bước 5.1.2.3.3

Nhân $h$ với $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Bước 5.1.2.3.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Bước 5.1.2.3.5

Nhân $3$ với $3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Bước 5.1.2.4

Cộng $x h$ và $h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.4.1

Sắp xếp lại $x$ và $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Bước 5.1.2.4.2

Cộng $h x$ và $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Bước 5.1.2.5

Cộng $3 x$ và $3 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

Bước 5.1.2.6

Cộng $3 h$ và $3 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Bước 5.1.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Bước 5.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Bước 5.2.2

Sắp xếp lại $2 h x$ và $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Bước 5.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Bước 6

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Bước 7.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Nhân $6$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

Bước 7.1.2.2

Nhân $- 1$ với $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

Bước 7.1.3

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

Bước 7.1.4

Cộng $h^{2}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

Bước 7.1.5

Trừ $6 x$ khỏi $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Bước 7.1.6

Cộng $h^{2}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

Bước 7.1.7

Trừ $9$ khỏi $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

Bước 7.1.8

Cộng $h^{2} + 2 h x + 6 h$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

Bước 7.1.9

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2} + 2 h x + 6 h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.9.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

Bước 7.1.9.2

Đưa $h$ ra ngoài $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

Bước 7.1.9.3

Đưa $h$ ra ngoài $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

Bước 7.1.9.4

Đưa $h$ ra ngoài $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

Bước 7.1.9.5

Đưa $h$ ra ngoài $h (h + 2 x) + h \cdot 6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Bước 7.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Bước 7.2.1.2

Chia $h + 2 x + 6$ cho $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

Bước 7.2.2

Sắp xếp lại $h$ và $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

Bước 8

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $2 x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Bước 8.3

Tính giới hạn của $6$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

Bước 9

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$2 x + 0 + 6$

Bước 10

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x + 6$

Bước 11

Rút gọn $2 (1) + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $2$ với $1$ .

$m = 2 + 6$

Bước 11.2

Cộng $2$ và $6$ .

$m = 8$

Bước 12

Hệ số góc là $m = 8$ và điểm là $(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

Bước 13

Tìm $b$ bằng cách sử dụng công thức của phương trình đường thẳng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Sử dụng công thức cho phương trình đường thẳng để tìm $b$ .

$y = m x + b$

Bước 13.2

Thay giá trị của $m$ vào phương trình.

$y = (8) \cdot x + b$

Bước 13.3

Thay giá trị của $x$ vào phương trình.

$y = (8) \cdot (1) + b$

Bước 13.4

Thay giá trị của $y$ vào phương trình.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

Bước 13.5

Tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $(8) \cdot (1) + b = 16$ .

$(8) \cdot (1) + b = 16$

Bước 13.5.2

Nhân $8$ với $1$ .

$8 + b = 16$

Bước 13.5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $b$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.3.1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$b = 16 - 8$

Bước 13.5.3.2

Trừ $8$ khỏi $16$ .

$b = 8$

Bước 14

Bây giờ, các giá trị của $m$ (hệ số góc) và $b$ (tung độ gốc) đã được biết, thay chúng vào $y = m x + b$ để tìm phương trình đường thẳng.

$y = 8 x + 8$

Bước 15

Nhập bài toán CỦA BẠN