Giải tích Ví dụ

y = 3 x^{2} + 3 x

$y = 3 x^{2} + 3 x$ ,

(1, 6)

$(1, 6)$

Bước 1

Viết

y = 3 x^{2} + 3 x

$y = 3 x^{2} + 3 x$ ở dạng một hàm số.

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Bước 2

Kiểm tra xem điểm đã cho có nằm trên đồ thị của hàm số đã cho không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$ tại

x = 1

$x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến

x

$x$ bằng

1

$1$ trong biểu thức.

f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)

$f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)$

Bước 2.1.2.1.2

Nhân

3

$3$ với

1

$1$ .

f (1) = 3 + 3 (1)

$f (1) = 3 + 3 (1)$

Bước 2.1.2.1.3

Nhân

3

$3$ với

1

$1$ .

f (1) = 3 + 3

$f (1) = 3 + 3$

f (1) = 3 + 3

$f (1) = 3 + 3$

Bước 2.1.2.2

Cộng

3

$3$ và

3

$3$ .

f (1) = 6

$f (1) = 6$

Bước 2.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là

6

$6$ .

6

$6$

6

$6$

6

$6$

Bước 2.2

Vì

6 = 6

$6 = 6$ , nên điểm nằm trên đồ thị.

Điểm nằm trên đồ thị

Bước 3

Hệ số góc của đường tiếp tuyến là đạo hàm của biểu thức.

m

$m$

=

$=$ Đạo hàm của

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Bước 4

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 5

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính hàm số tại

$x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Thay thế biến

$x$ bằng

$x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Bước 5.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Viết lại

${(x + h)}^{2}$ ở dạng

$(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.2

Khai triển

$(x + h) (x + h)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.3.1.1

Nhân

$x$ với

$x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.3.1.2

Nhân

$h$ với

$h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.3.2

Cộng

$x h$ và

$h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.3.2.1

Sắp xếp lại

$x$ và

$h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.3.2.2

Cộng

$h x$ và

$h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.5

Nhân

$2$ với

$3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Bước 5.1.2.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Bước 5.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Bước 5.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Di chuyển

$3 x$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x$

Bước 5.2.2

Di chuyển

$3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Bước 5.2.3

Sắp xếp lại

$6 h x$ và

$3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Bước 5.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Bước 6

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Bước 7.1.2

Nhân

$3$ với

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}$

Bước 7.1.3

Nhân

$3$ với

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}$

Bước 7.1.4

Trừ

$3 x^{2}$ khỏi

$3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Bước 7.1.5

Cộng

$3 h^{2}$ và

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Bước 7.1.6

Trừ

$3 x$ khỏi

$3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}$

Bước 7.1.7

Cộng

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ và

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}$

Bước 7.1.8

Đưa

$3 h$ ra ngoài

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.8.1

Đưa

$3 h$ ra ngoài

$3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}$

Bước 7.1.8.2

Đưa

$3 h$ ra ngoài

$6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}$

Bước 7.1.8.3

Đưa

$3 h$ ra ngoài

$3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Bước 7.1.8.4

Đưa

$3 h$ ra ngoài

$3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Bước 7.1.8.5

Đưa

$3 h$ ra ngoài

$3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Bước 7.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

$h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Bước 7.2.1.2

Chia

$3 (h + 2 x + 1)$ cho

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

Bước 7.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân

$2$ với

$3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1$

Bước 7.3.2

Nhân

$3$ với

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

Bước 7.4

Sắp xếp lại

$3 h$ và

$6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

Bước 8

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi

$h$ tiến dần đến

$0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Bước 8.2

Tính giới hạn của

$6 x$ mà không đổi khi

$h$ tiến dần đến

$0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Bước 8.3

Chuyển số hạng

$3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với

$h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Bước 8.4

Tính giới hạn của

$3$ mà không đổi khi

$h$ tiến dần đến

$0$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3$

Bước 9

Tính giới hạn của

$h$ bằng cách điền vào

$0$ cho

$h$ .

$6 x + 3 \cdot 0 + 3$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân

$3$ với

$0$ .

$6 x + 0 + 3$

Bước 10.2

Cộng

$6 x$ và

$0$ .

$6 x + 3$

Bước 11

Rút gọn

$6 (1) + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân

$6$ với

$1$ .

$m = 6 + 3$

Bước 11.2

Cộng

$6$ và

$3$ .

$m = 9$

Bước 12

Hệ số góc là

$m = 9$ và điểm là

$(1, 6)$ .

$m = 9, (1, 6)$

Bước 13

Tìm

$b$ bằng cách sử dụng công thức của phương trình đường thẳng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Sử dụng công thức cho phương trình đường thẳng để tìm

$b$ .

$y = m x + b$

Bước 13.2

Thay giá trị của

$m$ vào phương trình.

$y = (9) \cdot x + b$

Bước 13.3

Thay giá trị của

$x$ vào phương trình.

$y = (9) \cdot (1) + b$

Bước 13.4

Thay giá trị của

$y$ vào phương trình.

$6 = (9) \cdot (1) + b$

Bước 13.5

Tìm

$b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Viết lại phương trình ở dạng

$(9) \cdot (1) + b = 6$ .

$(9) \cdot (1) + b = 6$

Bước 13.5.2

Nhân

$9$ với

$1$ .

$9 + b = 6$

Bước 13.5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa

$b$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.3.1

Trừ

$9$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$b = 6 - 9$

Bước 13.5.3.2

Trừ

$9$ khỏi

$6$ .

$b = - 3$

Bước 14

Bây giờ, các giá trị của

$m$ (hệ số góc) và

$b$ (tung độ gốc) đã được biết, thay chúng vào

$y = m x + b$ để tìm phương trình đường thẳng.

$y = 9 x - 3$

Bước 15

Nhập bài toán CỦA BẠN