Giải tích Ví dụ

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(1, 7)$

Bước 1

Viết $y = 3 x^{3} + x + 3$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Bước 2

Kiểm tra xem điểm đã cho có nằm trên đồ thị của hàm số đã cho không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Bước 2.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3$

Bước 2.1.2.2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$f (1) = 3 + 1 + 3$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Cộng $3$ và $1$ .

$f (1) = 4 + 3$

Bước 2.1.2.3.2

Cộng $4$ và $3$ .

$f (1) = 7$

Bước 2.1.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $7$ .

$7$

Bước 2.2

Vì $7 = 7$ , nên điểm nằm trên đồ thị.

Điểm nằm trên đồ thị

Bước 3

Hệ số góc của đường tiếp tuyến là đạo hàm của biểu thức.

$m$ $=$ Đạo hàm của $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Bước 4

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 5

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Bước 5.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Bước 5.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (x + h) = 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + x + h + 3$

Bước 5.1.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 3 (3 x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Bước 5.1.2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.3.1

Nhân $3$ với $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Bước 5.1.2.2.3.2

Nhân $3$ với $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 9 (x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Bước 5.1.2.2.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Bước 5.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$ .

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Bước 5.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Bước 5.2.2

Di chuyển $x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + x + h + 3$

Bước 5.2.3

Di chuyển $x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + h + x + 3$

Bước 5.2.4

Di chuyển $3 x^{3}$ .

$9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Bước 5.2.5

Di chuyển $9 h x^{2}$ .

$9 h^{2} x + 3 h^{3} + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Bước 5.2.6

Sắp xếp lại $9 h^{2} x$ và $3 h^{3}$ .

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Bước 5.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Bước 6

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3} + x + 3)}{h}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3}) - x - 1 \cdot 3}{h}$

Bước 7.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 1 \cdot 3}{h}$

Bước 7.1.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 3}{h}$

Bước 7.1.3

Trừ $3 x^{3}$ khỏi $3 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 + 0 - x - 3}{h}$

Bước 7.1.4

Cộng $3 h^{3}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 - x - 3}{h}$

Bước 7.1.5

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0 + 3 - 3}{h}$

Bước 7.1.6

Cộng $3 h^{3}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 3 - 3}{h}$

Bước 7.1.7

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0}{h}$

Bước 7.1.8

Cộng $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Bước 7.1.9

Đưa $h$ ra ngoài $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.9.1

Đưa $h$ ra ngoài $3 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Bước 7.1.9.2

Đưa $h$ ra ngoài $9 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + 9 h x^{2} + h}{h}$

Bước 7.1.9.3

Đưa $h$ ra ngoài $9 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Bước 7.1.9.4

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Bước 7.1.9.5

Đưa $h$ ra ngoài $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Bước 7.1.9.6

Đưa $h$ ra ngoài $h (3 h^{2}) + h (9 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Bước 7.1.9.7

Đưa $h$ ra ngoài $h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Bước 7.1.9.8

Đưa $h$ ra ngoài $h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Bước 7.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Bước 7.2.1.2

Chia $3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$ cho $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$

Bước 7.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Di chuyển $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 x h + 9 x^{2} + 1$

Bước 7.2.2.2

Di chuyển $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x h + 9 x^{2} + 3 h^{2} + 1$

Bước 7.2.2.3

Sắp xếp lại $9 x h$ và $9 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{h \to 0} 9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Bước 9

Tính giới hạn của $9 x^{2}$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Bước 10

Chuyển số hạng $9 x$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Bước 11

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Bước 12

Đưa số mũ $2$ từ $h^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Bước 13

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Bước 14

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Bước 14.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Bước 15

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Nhân $9 x \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1.1

Nhân $0$ với $9$ .

$9 x^{2} + 0 x + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Bước 15.1.1.2

Nhân $0$ với $x$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Bước 15.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 + 1$

Bước 15.1.3

Nhân $3$ với $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$

Bước 15.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $9 x^{2} + 0 + 0 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Cộng $9 x^{2}$ và $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 1$

Bước 15.2.2

Cộng $9 x^{2}$ và $0$ .

$9 x^{2} + 1$

Bước 16

Tìm hệ số góc $m$ . Trong trường hợp này $m = 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$m = 9 \cdot 1^{2} + 1$

Bước 16.2

Rút gọn $9 \cdot 1^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$m = 9 \cdot 1 + 1$

Bước 16.2.1.2

Nhân $9$ với $1$ .

$m = 9 + 1$

Bước 16.2.2

Cộng $9$ và $1$ .

$m = 10$

Bước 17

Hệ số góc là $m = 10$ và điểm là $(1, 7)$ .

$m = 10, (1, 7)$

Bước 18

Tìm $b$ bằng cách sử dụng công thức của phương trình đường thẳng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Sử dụng công thức cho phương trình đường thẳng để tìm $b$ .

$y = m x + b$

Bước 18.2

Thay giá trị của $m$ vào phương trình.

$y = (10) \cdot x + b$

Bước 18.3

Thay giá trị của $x$ vào phương trình.

$y = (10) \cdot (1) + b$

Bước 18.4

Thay giá trị của $y$ vào phương trình.

$7 = (10) \cdot (1) + b$

Bước 18.5

Tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $(10) \cdot (1) + b = 7$ .

$(10) \cdot (1) + b = 7$

Bước 18.5.2

Nhân $10$ với $1$ .

$10 + b = 7$

Bước 18.5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $b$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.3.1

Trừ $10$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$b = 7 - 10$

Bước 18.5.3.2

Trừ $10$ khỏi $7$ .

$b = - 3$

Bước 19

Bây giờ, các giá trị của $m$ (hệ số góc) và $b$ (tung độ gốc) đã được biết, thay chúng vào $y = m x + b$ để tìm phương trình đường thẳng.

$y = 10 x - 3$

Bước 20

Nhập bài toán CỦA BẠN