Giải tích Ví dụ

f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

4 x^{3} - x^{4} + x + 5

$4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ đối với

x

$x$ là

\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.2

Tính

\frac{d}{d x} [4 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì

4

$4$ không đổi đối với

x

$x$ , nên đạo hàm của

4 x^{3}

$4 x^{3}$ đối với

x

$x$ là

4 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 3

$n = 3$ .

4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.2.3

Nhân

3

$3$ với

4

$4$ .

12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.3

Tính

\frac{d}{d x} [- x^{4}]

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì

- 1

$- 1$ không đổi đối với

x

$x$ , nên đạo hàm của

- x^{4}

$- x^{4}$ đối với

x

$x$ là

- \frac{d}{d x} [x^{4}]

$- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 4

$n = 4$ .

12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.3.3

Nhân

4

$4$ với

- 1

$- 1$ .

12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 1

$n = 1$ .

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.4.2

Vì

5

$5$ là hằng số đối với

x

$x$ , đạo hàm của

5

$5$ đối với

x

$x$ là

0

$0$ .

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Cộng

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ và

0

$0$ .

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

Bước 2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

x \approx 3.02727941

$x \approx 3.02727941$

Bước 3

Chia

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị

x

$x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất

0

$0$ hoặc không xác định.

(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như

0

$0$ , từ khoảng

(- \infty, 3.02727941)

$(- \infty, 3.02727941)$ trong đạo hàm đầu tiên

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến

x

$x$ bằng

0

$0$ trong biểu thức.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng

$0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho

$0$ .

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Bước 4.2.1.2

Nhân

$- 4$ với

$0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Bước 4.2.1.3

Nâng

$0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho

$0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Bước 4.2.1.4

Nhân

$12$ với

$0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng

$0$ và

$0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Bước 4.2.2.2

Cộng

$0$ và

$1$ .

$f' (0) = 1$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là

$1$ .

$1$

Bước 5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như

$6$ , từ khoảng

$(3.02727941, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến

$x$ bằng

$6$ trong biểu thức.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng

$6$ lên lũy thừa

$3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.2

Nhân

$- 4$ với

$216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.3

Nâng

$6$ lên lũy thừa

$2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

Bước 5.2.1.4

Nhân

$12$ với

$36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Cộng

$- 864$ và

$432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

Bước 5.2.2.2

Cộng

$- 432$ và

$1$ .

$f' (6) = - 431$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là

$- 431$ .

$- 431$

Bước 6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh

$x = 3.02727941$ , nên có một điểm ngoặt tại

$x = 3.02727941$ .

Bước 7

Tìm tọa độ y của

$3.02727941$ để tìm điểm ngoặt.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tìm

$f (3.02727941)$ để tìm tọa độ y của

$3.02727941$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Thay thế biến

$x$ bằng

$3.02727941$ trong biểu thức.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2

Rút gọn

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.2.1

Nâng

$3.02727941$ lên lũy thừa

$3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2.2.2

Nhân

$4$ với

$27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2.2.3

Nâng

$3.02727941$ lên lũy thừa

$4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2.2.4

Nhân

$- 1$ với

$83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2.3

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.3.1

Trừ

$83.98660555$ khỏi

$110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2.3.2

Cộng

$26.98644204$ và

$3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

Bước 7.1.2.3.3

Cộng

$30.01372146$ và

$5$ .

$35.01372146$

Bước 7.2

Viết các tọa độ

$x$ và

$y$ ở dạng điểm.

$(3.02727941, 35.01372146)$

Bước 8

Nhập bài toán CỦA BẠN