Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{4}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.3.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.4.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Cộng $12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ và $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

Bước 2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x \approx 3.02727941$

Bước 3

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- \infty, 3.02727941)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Bước 4.2.1.2

Nhân $- 4$ với $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Bước 4.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Bước 4.2.1.4

Nhân $12$ với $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Bước 4.2.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f' (0) = 1$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $6$ , từ khoảng $(3.02727941, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 4$ với $216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.3

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

Bước 5.2.1.4

Nhân $12$ với $36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Cộng $- 864$ và $432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

Bước 5.2.2.2

Cộng $- 432$ và $1$ .

$f' (6) = - 431$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 431$ .

$- 431$

Bước 6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 3.02727941$ , nên có một điểm ngoặt tại $x = 3.02727941$ .

Bước 7

Tìm tọa độ y của $3.02727941$ để tìm điểm ngoặt.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tìm $f (3.02727941)$ để tìm tọa độ y của $3.02727941$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $3.02727941$ trong biểu thức.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2

Rút gọn $4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.2.1

Nâng $3.02727941$ lên lũy thừa $3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2.2.2

Nhân $4$ với $27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2.2.3

Nâng $3.02727941$ lên lũy thừa $4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2.2.4

Nhân $- 1$ với $83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2.3

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.3.1

Trừ $83.98660555$ khỏi $110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

Bước 7.1.2.3.2

Cộng $26.98644204$ và $3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

Bước 7.1.2.3.3

Cộng $30.01372146$ và $5$ .

$35.01372146$

Bước 7.2

Viết các tọa độ $x$ và $y$ ở dạng điểm.

$(3.02727941, 35.01372146)$

Bước 8

Nhập bài toán CỦA BẠN