Đại số Ví dụ

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ ,

(1, 2, 3)

$(1, 2, 3)$ ,

(2, 2, 2)

$(2, 2, 2)$ ,

(4, 7, 10)

$(4, 7, 10)$

Bước 1

Cho các điểm

C = (2, 2, 2)

$C = (2, 2, 2)$ và

D = (4, 7, 10)

$D = (4, 7, 10)$ , tìm một mặt phẳng chứa các điểm

A = (1, 1, 1)

$A = (1, 1, 1)$ và

B = (1, 2, 3)

$B = (1, 2, 3)$ song song với đường thẳng

CD

$CD$ .

A = (1, 1, 1)

$A = (1, 1, 1)$

B = (1, 2, 3)

$B = (1, 2, 3)$

C = (2, 2, 2)

$C = (2, 2, 2)$

D = (4, 7, 10)

$D = (4, 7, 10)$

Bước 2

Đầu tiên, tính vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua các điểm

C

$C$ và

D

$D$ . Điều này có thể được thực hiện bằng cách lấy các giá trị tọa độ của điểm

C

$C$ và trừ chúng khỏi điểm

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Bước 3

Thay thế các giá trị của

x

$x$ ,

y

$y$ , và

z

$z$ và sau đó rút gọn để có được vectơ chỉ phương

V_{CD}

$V_{CD}$ cho đường thẳng

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩$

Bước 4

Tính vectơ chỉ phương của một đường thẳng đi qua các điểm

A

$A$ và

B

$B$ bằng cách sử dụng cùng một phương pháp.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Bước 5

Thay thế các giá trị của

x

$x$ ,

y

$y$ , và

z

$z$ và sau đó rút gọn để có được vectơ chỉ phương

V_{AB}

$V_{AB}$ cho đường thẳng

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩$

Bước 6

Mặt phẳng đáp án sẽ gồm một đường thẳng chứa các điểm

A

$A$ và

B

$B$ và với vectơ chỉ phương

V_{A B}

$V_{A B}$ . Để mặt phẳng này song song với đường thẳng

C D

$C D$ , hãy tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mà cũng trực giao với vectơ chỉ phương của đường thẳng

C D

$C D$ . Tính vectơ pháp tuyến bằng cách tìm tích chéo

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ bằng cách tìm định thức của ma trận

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 0 & 1 & 2 2 & 5 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \end{array}]$

Bước 7

Tính định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử

0

$0$ nhất. Nếu không có phần tử

0

$0$ nào, hãy chọn hàng hoặc cột bất kỳ. Nhân mỗi phần tử trong hàng

1

$1$ với đồng hệ số tương ứng rồi cộng lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Xem xét biểu đồ dấu tương ứng.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 7.1.2

Đồng hệ số là định thức con có dấu thay đổi nếu các chỉ số khớp với vị trí

-

$-$ trên biểu đồ dấu.

Bước 7.1.3

Định thức con của

a_{11}

$a_{11}$ là định thức có hàng

1

$1$ và cột

1

$1$ bị xóa.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Bước 7.1.4

Nhân phần tử

a_{11}

$a_{11}$ với đồng hệ số tương ứng.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Bước 7.1.5

Định thức con của

a_{12}

$a_{12}$ là định thức có hàng

1

$1$ và cột

2

$2$ bị xóa.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Bước 7.1.6

Nhân phần tử

a_{12}

$a_{12}$ với đồng hệ số tương ứng.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j$

Bước 7.1.7

Định thức con của

a_{13}

$a_{13}$ là định thức có hàng

1

$1$ và cột

3

$3$ bị xóa.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$

Bước 7.1.8

Nhân phần tử

a_{13}

$a_{13}$ với đồng hệ số tương ứng.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Bước 7.1.9

Cộng các số hạng với nhau.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Bước 7.2

Tính

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Có thể tìm được định thức của một

2 \times 2

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Bước 7.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Nhân

8

$8$ với

1

$1$ .

i (8 - 5 \cdot 2) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Bước 7.2.2.1.2

Nhân

- 5

$- 5$ với

2

$2$ .

i (8 - 10) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i (8 - 10) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Bước 7.2.2.2

Trừ

10

$10$ khỏi

8

$8$ .

i \cdot - 2 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Bước 7.3

Tính

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Có thể tìm được định thức của một

2 \times 2

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Bước 7.3.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1.1

Nhân

0

$0$ với

8

$8$ .

i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Bước 7.3.2.1.2

Nhân

- 2

$- 2$ với

2

$2$ .

i \cdot - 2 - (0 - 4) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - (0 - 4) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Bước 7.3.2.2

Trừ

4

$4$ khỏi

0

$0$ .

i \cdot - 2 - - 4 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - - 4 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - - 4 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Bước 7.4

Tính

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Có thể tìm được định thức của một

2 \times 2

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k$

Bước 7.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1.1

Nhân

0

$0$ với

5

$5$ .

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k$

Bước 7.4.2.1.2

Nhân

- 2

$- 2$ với

1

$1$ .

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

Bước 7.4.2.2

Trừ

2

$2$ khỏi

0

$0$ .

i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

Bước 7.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Di chuyển

- 2

$- 2$ sang phía bên trái của

i

$i$ .

- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k

$- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k$

Bước 7.5.2

Nhân

- 1

$- 1$ với

- 4

$- 4$ .

- 2 i + 4 j - 2 k

$- 2 i + 4 j - 2 k$

- 2 i + 4 j - 2 k

$- 2 i + 4 j - 2 k$

- 2 i + 4 j - 2 k

$- 2 i + 4 j - 2 k$

Bước 8

Giải biểu thức

(- 2) x + (4) y + (- 2) z

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z$ tại điểm

A

$A$ vì nó nằm trên mặt phẳng. Điều này được sử dụng để tính hằng số trong phương trình cho mặt phẳng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân

- 2

$- 2$ với

1

$1$ .

- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1

$- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1$

Bước 8.1.2

Nhân

4

$4$ với

1

$1$ .

- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1

$- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1$

Bước 8.1.3

Nhân

- 2

$- 2$ với

1

$1$ .

- 2 + 4 - 2

$- 2 + 4 - 2$

- 2 + 4 - 2

$- 2 + 4 - 2$

Bước 8.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng

- 2

$- 2$ và

4

$4$ .

2 - 2

$2 - 2$

Bước 8.2.2

Trừ

2

$2$ khỏi

2

$2$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Bước 9

Cộng hằng số để tìm phương trình mặt phẳng là

(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$ .

(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$

Bước 10

Nhân

- 2

$- 2$ với

z

$z$ .

- 2 x + 4 y - 2 z = 0

$- 2 x + 4 y - 2 z = 0$

Nhập bài toán CỦA BẠN