Đại số Ví dụ

Cho các điểm ${\displaystyle C=(2,2,2)}$ và ${\displaystyle D=(4,7,10)}$, tìm một mặt phẳng chứa các điểm ${\displaystyle A=(1,1,1)}$ và ${\displaystyle B=(1,2,3)}$ song song với đường thẳng ${\displaystyle \mathrm{CD}}$.

Đầu tiên, tính vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua các điểm ${\displaystyle C}$ và ${\displaystyle D}$. Điều này có thể được thực hiện bằng cách lấy các giá trị tọa độ của điểm ${\displaystyle C}$ và trừ chúng khỏi điểm ${\displaystyle D}$.

Thay thế các giá trị của ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, và ${\displaystyle z}$ và sau đó rút gọn để có được vectơ chỉ phương ${\displaystyle V_{\mathrm{CD}}}$ cho đường thẳng ${\displaystyle \mathrm{CD}}$.

Tính vectơ chỉ phương của một đường thẳng đi qua các điểm ${\displaystyle A}$ và ${\displaystyle B}$ bằng cách sử dụng cùng một phương pháp.

Thay thế các giá trị của ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, và ${\displaystyle z}$ và sau đó rút gọn để có được vectơ chỉ phương ${\displaystyle V_{\mathrm{AB}}}$ cho đường thẳng ${\displaystyle \mathrm{AB}}$.

Mặt phẳng đáp án sẽ gồm một đường thẳng chứa các điểm ${\displaystyle A}$ và ${\displaystyle B}$ và với vectơ chỉ phương ${\displaystyle V_{AB}}$. Để mặt phẳng này song song với đường thẳng ${\displaystyle CD}$, hãy tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mà cũng trực giao với vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\displaystyle CD}$. Tính vectơ pháp tuyến bằng cách tìm tích chéo ${\displaystyle V_{AB}}$x${\displaystyle V_{CD}}$ bằng cách tìm định thức của ma trận ${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_B-x_A& y_B-y_A& z_B-z_A\\ x_D-x_C& y_D-y_C& z_D-z_C\end{array}\right]}$.

Cộng hằng số để tìm phương trình mặt phẳng là ${\displaystyle (-2)x+\left(4\right)y+(-2)z=0}$.