Ví dụ
A=[350750110]
Bước 1
Bước 1.1
Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng p(λ).
p(λ)=định thức(A-λI3)
Bước 1.2
Ma trận đơn vị cỡ 3 là ma trận vuông 3×3 có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.
[100010001]
Bước 1.3
Thay các giá trị đã biết vào p(λ)=định thức(A-λI3).
Bước 1.3.1
Thay [350750110] bằng A.
p(λ)=định thức([350750110]-λI3)
Bước 1.3.2
Thay [100010001] bằng I3.
p(λ)=định thức([350750110]-λ[100010001])
p(λ)=định thức([350750110]-λ[100010001])
Bước 1.4
Rút gọn.
Bước 1.4.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.4.1.1
Nhân -λ với mỗi phần tử của ma trận.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Bước 1.4.1.2.1
Nhân -1 với 1.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.2
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.4.1.2.2.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.2.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.3
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.4.1.2.3.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.3.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.4
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.4.1.2.4.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.4.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.5
Nhân -1 với 1.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.6
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.4.1.2.6.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.6.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.7
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.4.1.2.7.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.7.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.8
Nhân -λ⋅0.
Bước 1.4.1.2.8.1
Nhân 0 với -1.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.8.2
Nhân 0 với λ.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
Bước 1.4.1.2.9
Nhân -1 với 1.
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=định thức([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
Bước 1.4.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
p(λ)=định thức[3-λ5+00+07+05-λ0+01+01+00-λ]
Bước 1.4.3
Rút gọn từng phần tử.
Bước 1.4.3.1
Cộng 5 và 0.
p(λ)=định thức[3-λ50+07+05-λ0+01+01+00-λ]
Bước 1.4.3.2
Cộng 0 và 0.
p(λ)=định thức[3-λ507+05-λ0+01+01+00-λ]
Bước 1.4.3.3
Cộng 7 và 0.
p(λ)=định thức[3-λ5075-λ0+01+01+00-λ]
Bước 1.4.3.4
Cộng 0 và 0.
p(λ)=định thức[3-λ5075-λ01+01+00-λ]
Bước 1.4.3.5
Cộng 1 và 0.
p(λ)=định thức[3-λ5075-λ011+00-λ]
Bước 1.4.3.6
Cộng 1 và 0.
p(λ)=định thức[3-λ5075-λ0110-λ]
Bước 1.4.3.7
Trừ λ khỏi 0.
p(λ)=định thức[3-λ5075-λ011-λ]
p(λ)=định thức[3-λ5075-λ011-λ]
p(λ)=định thức[3-λ5075-λ011-λ]
Bước 1.5
Tìm định thức.
Bước 1.5.1
Chọn hàng hoặc cột có nhiều phần tử 0 nhất. Nếu không có phần tử 0 nào, hãy chọn hàng hoặc cột bất kỳ. Nhân mỗi phần tử trong cột 3 với đồng hệ số tương ứng rồi cộng lại.
Bước 1.5.1.1
Xem xét biểu đồ dấu tương ứng.
|+-+-+-+-+|
Bước 1.5.1.2
Đồng hệ số là định thức con có dấu thay đổi nếu các chỉ số khớp với vị trí - trên biểu đồ dấu.
Bước 1.5.1.3
Định thức con của a13 là định thức có hàng 1 và cột 3 bị xóa.
|75-λ11|
Bước 1.5.1.4
Nhân phần tử a13 với đồng hệ số tương ứng.
0|75-λ11|
Bước 1.5.1.5
Định thức con của a23 là định thức có hàng 2 và cột 3 bị xóa.
|3-λ511|
Bước 1.5.1.6
Nhân phần tử a23 với đồng hệ số tương ứng.
0|3-λ511|
Bước 1.5.1.7
Định thức con của a33 là định thức có hàng 3 và cột 3 bị xóa.
|3-λ575-λ|
Bước 1.5.1.8
Nhân phần tử a33 với đồng hệ số tương ứng.
-λ|3-λ575-λ|
Bước 1.5.1.9
Cộng các số hạng với nhau.
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
Bước 1.5.2
Nhân 0 với |75-λ11|.
p(λ)=0+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
Bước 1.5.3
Nhân 0 với |3-λ511|.
p(λ)=0+0-λ|3-λ575-λ|
Bước 1.5.4
Tính |3-λ575-λ|.
Bước 1.5.4.1
Có thể tìm được định thức của một 2×2 ma trận bằng công thức |abcd|=ad-cb.
p(λ)=0+0-λ((3-λ)(5-λ)-7⋅5)
Bước 1.5.4.2
Rút gọn định thức.
Bước 1.5.4.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.5.4.2.1.1
Khai triển (3-λ)(5-λ) bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.
Bước 1.5.4.2.1.1.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
p(λ)=0+0-λ(3(5-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)
Bước 1.5.4.2.1.1.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)
Bước 1.5.4.2.1.1.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Bước 1.5.4.2.1.2
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.
Bước 1.5.4.2.1.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.5.4.2.1.2.1.1
Nhân 3 với 5.
p(λ)=0+0-λ(15+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Bước 1.5.4.2.1.2.1.2
Nhân -1 với 3.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Bước 1.5.4.2.1.2.1.3
Nhân 5 với -1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-λ(-λ)-7⋅5)
Bước 1.5.4.2.1.2.1.4
Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-7⋅5)
Bước 1.5.4.2.1.2.1.5
Nhân λ với λ bằng cách cộng các số mũ.
Bước 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Di chuyển λ.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-7⋅5)
Bước 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Nhân λ với λ.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)
Bước 1.5.4.2.1.2.1.6
Nhân -1 với -1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+1λ2-7⋅5)
Bước 1.5.4.2.1.2.1.7
Nhân λ2 với 1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)
Bước 1.5.4.2.1.2.2
Trừ 5λ khỏi -3λ.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)
Bước 1.5.4.2.1.3
Nhân -7 với 5.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)
Bước 1.5.4.2.2
Trừ 35 khỏi 15.
p(λ)=0+0-λ(-8λ+λ2-20)
Bước 1.5.4.2.3
Sắp xếp lại -8λ và λ2.
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
Bước 1.5.5
Rút gọn định thức.
Bước 1.5.5.1
Kết hợp các số hạng đối nhau trong 0+0-λ(λ2-8λ-20).
Bước 1.5.5.1.1
Cộng 0 và 0.
p(λ)=0-λ(λ2-8λ-20)
Bước 1.5.5.1.2
Trừ λ(λ2-8λ-20) khỏi 0.
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)
Bước 1.5.5.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
p(λ)=-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20
Bước 1.5.5.3
Rút gọn.
Bước 1.5.5.3.1
Nhân λ với λ2 bằng cách cộng các số mũ.
Bước 1.5.5.3.1.1
Di chuyển λ2.
p(λ)=-(λ2λ)-λ(-8λ)-λ⋅-20
Bước 1.5.5.3.1.2
Nhân λ2 với λ.
Bước 1.5.5.3.1.2.1
Nâng λ lên lũy thừa 1.
p(λ)=-(λ2λ1)-λ(-8λ)-λ⋅-20
Bước 1.5.5.3.1.2.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa aman=am+n để kết hợp các số mũ.
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20
Bước 1.5.5.3.1.3
Cộng 2 và 1.
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20
Bước 1.5.5.3.2
Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ-λ⋅-20
Bước 1.5.5.3.3
Nhân -20 với -1.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λ
Bước 1.5.5.4
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 1.5.5.4.1
Nhân λ với λ bằng cách cộng các số mũ.
Bước 1.5.5.4.1.1
Di chuyển λ.
p(λ)=-λ3-1⋅-8(λ⋅λ)+20λ
Bước 1.5.5.4.1.2
Nhân λ với λ.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λ
Bước 1.5.5.4.2
Nhân -1 với -8.
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
Bước 1.6
Đặt đa thức đặc trưng bằng 0 để tìm các trị riêng λ.
-λ3+8λ2+20λ=0
Bước 1.7
Giải tìm λ.
Bước 1.7.1
Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.
Bước 1.7.1.1
Đưa -λ ra ngoài -λ3+8λ2+20λ.
Bước 1.7.1.1.1
Đưa -λ ra ngoài -λ3.
-λ⋅λ2+8λ2+20λ=0
Bước 1.7.1.1.2
Đưa -λ ra ngoài 8λ2.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)+20λ=0
Bước 1.7.1.1.3
Đưa -λ ra ngoài 20λ.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20=0
Bước 1.7.1.1.4
Đưa -λ ra ngoài -λ(λ2)-λ(-8λ).
-λ(λ2-8λ)-λ⋅-20=0
Bước 1.7.1.1.5
Đưa -λ ra ngoài -λ(λ2-8λ)-λ(-20).
-λ(λ2-8λ-20)=0
-λ(λ2-8λ-20)=0
Bước 1.7.1.2
Phân tích thành thừa số.
Bước 1.7.1.2.1
Phân tích λ2-8λ-20 thành thừa số bằng phương pháp AC.
Bước 1.7.1.2.1.1
Xét dạng x2+bx+c. Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là c và tổng của chúng là b. Trong trường hợp này, tích số của chúng là -20 và tổng của chúng là -8.
-10,2
Bước 1.7.1.2.1.2
Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.
-λ((λ-10)(λ+2))=0
-λ((λ-10)(λ+2))=0
Bước 1.7.1.2.2
Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.
-λ(λ-10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0
Bước 1.7.2
Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng 0, toàn bộ biểu thức sẽ bằng 0.
λ=0
λ-10=0
λ+2=0
Bước 1.7.3
Đặt λ bằng với 0.
λ=0
Bước 1.7.4
Đặt λ-10 bằng 0 và giải tìm λ.
Bước 1.7.4.1
Đặt λ-10 bằng với 0.
λ-10=0
Bước 1.7.4.2
Cộng 10 cho cả hai vế của phương trình.
λ=10
λ=10
Bước 1.7.5
Đặt λ+2 bằng 0 và giải tìm λ.
Bước 1.7.5.1
Đặt λ+2 bằng với 0.
λ+2=0
Bước 1.7.5.2
Trừ 2 khỏi cả hai vế của phương trình.
λ=-2
λ=-2
Bước 1.7.6
Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho -λ(λ-10)(λ+2)=0 đúng.
λ=0,10,-2
λ=0,10,-2
λ=0,10,-2
Bước 2
Vectơ riêng bằng không gian không hạch của ma trận trừ đi giá trị riêng nhân với ma trận đơn vị, trong đó N là không gian không hạch và I là ma trận đơn vị.
εA=N(A-λI3)
Bước 3
Bước 3.1
Thay các giá trị đã biết vào công thức.
N([350750110]+0[100010001])
Bước 3.2
Rút gọn.
Bước 3.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 3.2.1.1
Nhân 0 với mỗi phần tử của ma trận.
[350750110]+[0⋅10⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Bước 3.2.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Bước 3.2.1.2.1
Nhân 0 với 1.
[350750110]+[00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Bước 3.2.1.2.2
Nhân 0 với 0.
[350750110]+[000⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Bước 3.2.1.2.3
Nhân 0 với 0.
[350750110]+[0000⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Bước 3.2.1.2.4
Nhân 0 với 0.
[350750110]+[00000⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Bước 3.2.1.2.5
Nhân 0 với 1.
[350750110]+[000000⋅00⋅00⋅00⋅1]
Bước 3.2.1.2.6
Nhân 0 với 0.
[350750110]+[0000000⋅00⋅00⋅1]
Bước 3.2.1.2.7
Nhân 0 với 0.
[350750110]+[00000000⋅00⋅1]
Bước 3.2.1.2.8
Nhân 0 với 0.
[350750110]+[000000000⋅1]
Bước 3.2.1.2.9
Nhân 0 với 1.
[350750110]+[000000000]
[350750110]+[000000000]
[350750110]+[000000000]
Bước 3.2.2
Cộng ma trận bất kỳ vào ma trận không sẽ được chính ma trận đó.
Bước 3.2.2.1
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
[3+05+00+07+05+00+01+01+00+0]
Bước 3.2.2.2
Rút gọn từng phần tử.
Bước 3.2.2.2.1
Cộng 3 và 0.
[35+00+07+05+00+01+01+00+0]
Bước 3.2.2.2.2
Cộng 5 và 0.
[350+07+05+00+01+01+00+0]
Bước 3.2.2.2.3
Cộng 0 và 0.
[3507+05+00+01+01+00+0]
Bước 3.2.2.2.4
Cộng 7 và 0.
[35075+00+01+01+00+0]
Bước 3.2.2.2.5
Cộng 5 và 0.
[350750+01+01+00+0]
Bước 3.2.2.2.6
Cộng 0 và 0.
[3507501+01+00+0]
Bước 3.2.2.2.7
Cộng 1 và 0.
[35075011+00+0]
Bước 3.2.2.2.8
Cộng 1 và 0.
[350750110+0]
Bước 3.2.2.2.9
Cộng 0 và 0.
[350750110]
[350750110]
[350750110]
[350750110]
Bước 3.3
Tìm không gian không hạch khi λ=0.
Bước 3.3.1
Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho Ax=0.
[350075001100]
Bước 3.3.2
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Bước 3.3.2.1
Nhân mỗi phần tử của R1 với 13 để số tại 1,1 trở thành 1.
Bước 3.3.2.1.1
Nhân mỗi phần tử của R1 với 13 để số tại 1,1 trở thành 1.
[3353030375001100]
Bước 3.3.2.1.2
Rút gọn R1.
[1530075001100]
[1530075001100]
Bước 3.3.2.2
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-7R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
Bước 3.3.2.2.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-7R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
[153007-7⋅15-7(53)0-7⋅00-7⋅01100]
Bước 3.3.2.2.2
Rút gọn R2.
[153000-203001100]
[153000-203001100]
Bước 3.3.2.3
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
Bước 3.3.2.3.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
[153000-203001-11-530-00-0]
Bước 3.3.2.3.2
Rút gọn R3.
[153000-203000-2300]
[153000-203000-2300]
Bước 3.3.2.4
Nhân mỗi phần tử của R2 với -320 để số tại 2,2 trở thành 1.
Bước 3.3.2.4.1
Nhân mỗi phần tử của R2 với -320 để số tại 2,2 trở thành 1.
[15300-320⋅0-320(-203)-320⋅0-320⋅00-2300]
Bước 3.3.2.4.2
Rút gọn R2.
[1530001000-2300]
[1530001000-2300]
Bước 3.3.2.5
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3+23R2 để số tại 3,2 trở thành 0.
Bước 3.3.2.5.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3+23R2 để số tại 3,2 trở thành 0.
[1530001000+23⋅0-23+23⋅10+23⋅00+23⋅0]
Bước 3.3.2.5.2
Rút gọn R3.
[1530001000000]
[1530001000000]
Bước 3.3.2.6
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1-53R2 để số tại 1,2 trở thành 0.
Bước 3.3.2.6.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1-53R2 để số tại 1,2 trở thành 0.
[1-53⋅053-53⋅10-53⋅00-53⋅001000000]
Bước 3.3.2.6.2
Rút gọn R1.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
Bước 3.3.3
Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.
x=0
y=0
0=0
Bước 3.3.4
Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.
[xyz]=[00z]
Bước 3.3.5
Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.
[xyz]=z[001]
Bước 3.3.6
Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.
{z[001]|z∈R}
Bước 3.3.7
Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
Bước 4
Bước 4.1
Thay các giá trị đã biết vào công thức.
N([350750110]-10[100010001])
Bước 4.2
Rút gọn.
Bước 4.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 4.2.1.1
Nhân -10 với mỗi phần tử của ma trận.
[350750110]+[-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Bước 4.2.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Bước 4.2.1.2.1
Nhân -10 với 1.
[350750110]+[-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Bước 4.2.1.2.2
Nhân -10 với 0.
[350750110]+[-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Bước 4.2.1.2.3
Nhân -10 với 0.
[350750110]+[-1000-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Bước 4.2.1.2.4
Nhân -10 với 0.
[350750110]+[-10000-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Bước 4.2.1.2.5
Nhân -10 với 1.
[350750110]+[-10000-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Bước 4.2.1.2.6
Nhân -10 với 0.
[350750110]+[-10000-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Bước 4.2.1.2.7
Nhân -10 với 0.
[350750110]+[-10000-1000-10⋅0-10⋅1]
Bước 4.2.1.2.8
Nhân -10 với 0.
[350750110]+[-10000-10000-10⋅1]
Bước 4.2.1.2.9
Nhân -10 với 1.
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
Bước 4.2.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
[3-105+00+07+05-100+01+01+00-10]
Bước 4.2.3
Rút gọn từng phần tử.
Bước 4.2.3.1
Trừ 10 khỏi 3.
[-75+00+07+05-100+01+01+00-10]
Bước 4.2.3.2
Cộng 5 và 0.
[-750+07+05-100+01+01+00-10]
Bước 4.2.3.3
Cộng 0 và 0.
[-7507+05-100+01+01+00-10]
Bước 4.2.3.4
Cộng 7 và 0.
[-75075-100+01+01+00-10]
Bước 4.2.3.5
Trừ 10 khỏi 5.
[-7507-50+01+01+00-10]
Bước 4.2.3.6
Cộng 0 và 0.
[-7507-501+01+00-10]
Bước 4.2.3.7
Cộng 1 và 0.
[-7507-5011+00-10]
Bước 4.2.3.8
Cộng 1 và 0.
[-7507-50110-10]
Bước 4.2.3.9
Trừ 10 khỏi 0.
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
Bước 4.3
Tìm không gian không hạch khi λ=10.
Bước 4.3.1
Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho Ax=0.
[-75007-50011-100]
Bước 4.3.2
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Bước 4.3.2.1
Nhân mỗi phần tử của R1 với -17 để số tại 1,1 trở thành 1.
Bước 4.3.2.1.1
Nhân mỗi phần tử của R1 với -17 để số tại 1,1 trở thành 1.
[-17⋅-7-17⋅5-17⋅0-17⋅07-50011-100]
Bước 4.3.2.1.2
Rút gọn R1.
[1-57007-50011-100]
[1-57007-50011-100]
Bước 4.3.2.2
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-7R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
Bước 4.3.2.2.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-7R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
[1-57007-7⋅1-5-7(-57)0-7⋅00-7⋅011-100]
Bước 4.3.2.2.2
Rút gọn R2.
[1-5700000011-100]
[1-5700000011-100]
Bước 4.3.2.3
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
Bước 4.3.2.3.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
[1-570000001-11+57-10-00-0]
Bước 4.3.2.3.2
Rút gọn R3.
[1-570000000127-100]
[1-570000000127-100]
Bước 4.3.2.4
Hoán đổi R3 với R2 để đặt một số khác không tại 2,2.
[1-57000127-1000000]
Bước 4.3.2.5
Nhân mỗi phần tử của R2 với 712 để số tại 2,2 trở thành 1.
Bước 4.3.2.5.1
Nhân mỗi phần tử của R2 với 712 để số tại 2,2 trở thành 1.
[1-5700712⋅0712⋅127712⋅-10712⋅00000]
Bước 4.3.2.5.2
Rút gọn R2.
[1-570001-35600000]
[1-570001-35600000]
Bước 4.3.2.6
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1+57R2 để số tại 1,2 trở thành 0.
Bước 4.3.2.6.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R1=R1+57R2 để số tại 1,2 trở thành 0.
[1+57⋅0-57+57⋅10+57(-356)0+57⋅001-35600000]
Bước 4.3.2.6.2
Rút gọn R1.
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
Bước 4.3.3
Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.
x-256z=0
y-356z=0
0=0
Bước 4.3.4
Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.
[xyz]=[25z635z6z]
Bước 4.3.5
Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.
[xyz]=z[2563561]
Bước 4.3.6
Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.
{z[2563561]|z∈R}
Bước 4.3.7
Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.
{[2563561]}
{[2563561]}
{[2563561]}
Bước 5
Bước 5.1
Thay các giá trị đã biết vào công thức.
N([350750110]+2[100010001])
Bước 5.2
Rút gọn.
Bước 5.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 5.2.1.1
Nhân 2 với mỗi phần tử của ma trận.
[350750110]+[2⋅12⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Bước 5.2.1.2
Rút gọn từng phần tử trong ma trận.
Bước 5.2.1.2.1
Nhân 2 với 1.
[350750110]+[22⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Bước 5.2.1.2.2
Nhân 2 với 0.
[350750110]+[202⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Bước 5.2.1.2.3
Nhân 2 với 0.
[350750110]+[2002⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Bước 5.2.1.2.4
Nhân 2 với 0.
[350750110]+[20002⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Bước 5.2.1.2.5
Nhân 2 với 1.
[350750110]+[200022⋅02⋅02⋅02⋅1]
Bước 5.2.1.2.6
Nhân 2 với 0.
[350750110]+[2000202⋅02⋅02⋅1]
Bước 5.2.1.2.7
Nhân 2 với 0.
[350750110]+[20002002⋅02⋅1]
Bước 5.2.1.2.8
Nhân 2 với 0.
[350750110]+[200020002⋅1]
Bước 5.2.1.2.9
Nhân 2 với 1.
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
Bước 5.2.2
Cộng các phần tử tương ứng với nhau.
[3+25+00+07+05+20+01+01+00+2]
Bước 5.2.3
Rút gọn từng phần tử.
Bước 5.2.3.1
Cộng 3 và 2.
[55+00+07+05+20+01+01+00+2]
Bước 5.2.3.2
Cộng 5 và 0.
[550+07+05+20+01+01+00+2]
Bước 5.2.3.3
Cộng 0 và 0.
[5507+05+20+01+01+00+2]
Bước 5.2.3.4
Cộng 7 và 0.
[55075+20+01+01+00+2]
Bước 5.2.3.5
Cộng 5 và 2.
[550770+01+01+00+2]
Bước 5.2.3.6
Cộng 0 và 0.
[5507701+01+00+2]
Bước 5.2.3.7
Cộng 1 và 0.
[55077011+00+2]
Bước 5.2.3.8
Cộng 1 và 0.
[550770110+2]
Bước 5.2.3.9
Cộng 0 và 2.
[550770112]
[550770112]
[550770112]
Bước 5.3
Tìm không gian không hạch khi λ=-2.
Bước 5.3.1
Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho Ax=0.
[550077001120]
Bước 5.3.2
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Bước 5.3.2.1
Nhân mỗi phần tử của R1 với 15 để số tại 1,1 trở thành 1.
Bước 5.3.2.1.1
Nhân mỗi phần tử của R1 với 15 để số tại 1,1 trở thành 1.
[5555050577001120]
Bước 5.3.2.1.2
Rút gọn R1.
[110077001120]
[110077001120]
Bước 5.3.2.2
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-7R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
Bước 5.3.2.2.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R2=R2-7R1 để số tại 2,1 trở thành 0.
[11007-7⋅17-7⋅10-7⋅00-7⋅01120]
Bước 5.3.2.2.2
Rút gọn R2.
[110000001120]
[110000001120]
Bước 5.3.2.3
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
Bước 5.3.2.3.1
Thực hiện phép biến đổi hàng R3=R3-R1 để số tại 3,1 trở thành 0.
[110000001-11-12-00-0]
Bước 5.3.2.3.2
Rút gọn R3.
[110000000020]
[110000000020]
Bước 5.3.2.4
Hoán đổi R3 với R2 để đặt một số khác không tại 2,3.
[110000200000]
Bước 5.3.2.5
Nhân mỗi phần tử của R2 với 12 để số tại 2,3 trở thành 1.
Bước 5.3.2.5.1
Nhân mỗi phần tử của R2 với 12 để số tại 2,3 trở thành 1.
[1100020222020000]
Bước 5.3.2.5.2
Rút gọn R2.
[110000100000]
[110000100000]
[110000100000]
Bước 5.3.3
Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.
x+y=0
z=0
0=0
Bước 5.3.4
Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.
[xyz]=[-yy0]
Bước 5.3.5
Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.
[xyz]=y[-110]
Bước 5.3.6
Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.
{y[-110]|y∈R}
Bước 5.3.7
Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.
{[-110]}
{[-110]}
{[-110]}
Bước 6
Không gian riêng của A là danh sách không gian vectơ cho mỗi trị riêng.
{[001],[2563561],[-110]}
