Тригонометрия Примеры

$\tan^{2} (θ) + \tan (θ) = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \tan (θ)$ . Подставим $u$ вместо $\tan (θ)$ для всех.

$u^{2} + u = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} + u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u + u = 0$

Этап 1.2.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u \cdot u + u = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$u (u + 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) (\tan (θ) + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$\tan (θ) + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\tan (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\tan (θ)$ к $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Этап 3.2

Решим $\tan (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 3.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 180 + 0$

Этап 3.2.4

Добавим $180$ и $0$ .

$θ = 180$

Этап 3.2.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 3.2.6

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\tan (θ) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (θ) + 1$ к $0$ .

$\tan (θ) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (θ) + 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (θ) = - 1$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (- 1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- 45$ .

$θ = - 45$

Этап 4.2.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = - 45 - 180$

Этап 4.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Добавим $360 °$ к $- 45 - 180 °$ .

$θ = - 45 - 180 ° + 360 °$

Этап 4.2.5.2

Результирующий угол $135 °$ является положительным и отличается от $- 45 - 180$ на полный оборот.

$θ = 135 °$

Этап 4.2.6

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 4.2.7

Добавим $180$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Добавим $180$ к $- 45$ , чтобы найти положительный угол.

$- 45 + 180$

Этап 4.2.7.2

Вычтем $45$ из $180$ .

$135$

Этап 4.2.7.3

Перечислим новые углы.

$θ = 135$

Этап 4.2.8

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 135 + 180 n, 135 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan (θ) (\tan (θ) + 1) = 0$ верно.

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 135 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим $180 n$ и $180 + 180 n$ в $180 n$ .

$θ = 180 n, 135 + 180 n$ , для любого целого $n$