Тригонометрия Примеры

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\sin (θ) = \frac{противоположные}{гипотенуза}$

Этап 2

Найдем прилежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку гипотенуза и противолежащая сторона известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Смежные = - \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {противоположные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Смежные = - \sqrt{{(2)}^{2} - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим знак $\sqrt{{(2)}^{2} - {(- \sqrt{2})}^{2}}$ на противоположный.

Смежный $= - \sqrt{{(2)}^{2} - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

Смежный $= - \sqrt{4 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

Смежный $= - \sqrt{4 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

Смежный $= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 4.4.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

Смежный $= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 4.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Смежный $= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

Смежный $= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

Смежный $= - \sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

Смежный $= - \sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Смежный $= - \sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Смежный $= - \sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Сократим общий множитель.

Смежный $= - \sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.4.2

Перепишем это выражение.

Смежный $= - \sqrt{4 - 2}$

Этап 4.6.5

Найдем экспоненту.

Смежный $= - \sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

Этап 4.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

Смежный $= - \sqrt{4 - 2}$

Этап 4.8

Вычтем $2$ из $4$ .

Смежный $= - \sqrt{2}$

Этап 5

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 5.2

Подставим известные значения.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{- \sqrt{2}}$

Этап 6.3

Упростим значение $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\tan (θ) = 1$

Этап 7

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{- \sqrt{2}}$

Этап 7.3

Упростим значение $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.3.2

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\cot (θ) = 1$

Этап 8

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\sec (θ) = \frac{2}{- \sqrt{2}}$

Этап 8.3

Упростим значение $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sec (θ) = - \frac{2}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 8.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 8.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 8.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 8.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 8.3.4.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

Этап 9

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\csc (θ) = \frac{2}{- \sqrt{2}}$

Этап 9.3

Упростим значение $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (θ) = - \frac{2}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 9.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 9.3.4.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Этап 10

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan (θ) = 1$

$\cot (θ) = 1$

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$