Тригонометрия Примеры

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 1

Чтобы найти $\csc (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Противоположное: $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Смежный: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{2^{1}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{2}{4} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 2.5.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.6.2

Умножим $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Этап 2.7.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

Этап 2.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{4}}$

Этап 2.9

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 (1)}{4}}$

Этап 2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{2}}$

Этап 2.10.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{2}}$

Этап 2.10.3

Разделим $2$ на $2$ .

$\sqrt{1}$

Этап 2.10.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$1$

Этап 3

$\csc (θ) = \frac{Гипотенуза}{Противоположные}$ , следовательно $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 4

Упростим $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\csc (θ) = - (1 (\frac{2}{\sqrt{2}}))$

Этап 4.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2}{\sqrt{2}}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.5.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.5.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.5.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сократим общий множитель.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.6.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\csc (θ) = - \sqrt{2} \approx - 1.41421356$