Тригонометрия Примеры

tan (\frac{3 π}{8})

$\tan (\frac{3 π}{8})$

Этап 1

Представим

\frac{3 π}{8}

$\frac{3 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на

2

$2$ .

tan (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})

$\tan (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})$

Этап 2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

\pm \sqrt{\frac{1 - cos (\frac{3 π}{4})}{1 + cos (\frac{3 π}{4})}}

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Этап 3

Заменим

\pm

$\pm$ на

+

$+$ , поскольку тангенс принимает положительные значения в первом квадранте.

\sqrt{\frac{1 - cos (\frac{3 π}{4})}{1 + cos (\frac{3 π}{4})}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Этап 4

Упростим

\sqrt{\frac{1 - cos (\frac{3 π}{4})}{1 + cos (\frac{3 π}{4})}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

\sqrt{\frac{1 - - cos (\frac{π}{4})}{1 + cos (\frac{3 π}{4})}}

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Этап 4.2

Точное значение

cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ :

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (\frac{3 π}{4})}}

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Этап 4.3

Умножим

- - \frac{\sqrt{2}}{2}

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (\frac{3 π}{4})}}

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Этап 4.3.2

Умножим

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ на

1

$1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Этап 4.4

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Этап 4.6

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}$

Этап 4.7

Точное значение

$\cos (\frac{π}{4})$ :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Этап 4.8

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Этап 4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 4.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Этап 4.11

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Этап 4.11.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Этап 4.12

Умножим

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ на

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Этап 4.13

Умножим

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ на

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Этап 4.14

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Этап 4.15

Упростим.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.16

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.17

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.17.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.18

Объединим

$\sqrt{2}$ и

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Этап 4.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.19.2

Перенесем

$2$ влево от

$\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.19.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Этап 4.19.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.1

Умножим

$2$ на

$2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Этап 4.19.4.2

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Этап 4.19.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Этап 4.19.5

Сократим общий множитель

$2 \sqrt{2} + 2$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.5.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

Этап 4.19.5.2

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

Этап 4.19.5.3

Вынесем множитель

$2$ из

$2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

Этап 4.19.5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.5.4.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

Этап 4.19.5.4.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

Этап 4.19.5.4.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

Этап 4.19.5.4.4

Разделим

$\sqrt{2} + 1$ на

$1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

Этап 4.20

Добавим

$2$ и

$1$ .

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

Этап 4.21

Добавим

$\sqrt{2}$ и

$\sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Десятичная форма:

$2.41421356 \dots$