Тригонометрия Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 75 \\ B = & 20 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $a$ .

$\frac{\sin (75)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Точное значение $\sin (75)$ : $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sin (30 + 45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.1.2

Применим формулу для суммы углов.

$\frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.1.3

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.1.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.1.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.1.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.1.7

Упростим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.7.1.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.7.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.1.7.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.1.7.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.1.7.1.2.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.1.7.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.1.7.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ на $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Этап 3.1.4

Найдем значение $\sin (20)$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = \frac{0.34202014}{4}$

Этап 3.1.5

Разделим $0.34202014$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 a, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$4 a$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$ умножим на $4 a$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$ на $4 a$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} (4 a) = 0.08550503 (4 a)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} a = 0.08550503 (4 a)$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 a$ .

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 (a)} a = 0.08550503 (4 a)$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} a = 0.08550503 (4 a)$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{a} a = 0.08550503 (4 a)$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{a} a = 0.08550503 (4 a)$

Этап 3.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 0.08550503 (4 a)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $4$ на $0.08550503$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 0.34202014 a$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ .

$0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ на $0.34202014$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ на $0.34202014$ .

$\frac{0.34202014 a}{0.34202014} = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.34202014$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.34202014 a}{0.34202014} = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Найдем значение корня.

$a = \frac{1.41421356}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Разделим $1.41421356$ на $0.34202014$ .

$a = 4.13488383 + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Этап 3.4.2.3.1.3

Найдем значение корня.

$a = 4.13488383 + \frac{2.44948974}{0.34202014}$

Этап 3.4.2.3.1.4

Разделим $2.44948974$ на $0.34202014$ .

$a = 4.13488383 + 7.16182888$

Этап 3.4.2.3.2

Добавим $4.13488383$ и $7.16182888$ .

$a = 11.29671272$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$75 + C + 20 = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $75$ и $20$ .

$C + 95 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $95$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 95$

Этап 5.2.2

Вычтем $95$ из $180$ .

$C = 85$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (85)}{c} = \frac{\sin (75)}{11.29671272}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\sin (85)$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (75)}{11.29671272}$

Этап 8.1.2

Точное значение $\sin (75)$ : $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (30 + 45)}{11.29671272}$

Этап 8.1.2.2

Применим формулу для суммы углов.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

Этап 8.1.2.3

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

Этап 8.1.2.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

Этап 8.1.2.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{11.29671272}$

Этап 8.1.2.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Этап 8.1.2.7

Упростим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.7.1.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.7.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Этап 8.1.2.7.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Этап 8.1.2.7.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Этап 8.1.2.7.1.2.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Этап 8.1.2.7.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Этап 8.1.2.7.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{11.29671272}$

Этап 8.1.2.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{11.29671272}$

Этап 8.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{11.29671272}$

Этап 8.1.4

Разделим $1$ на $11.29671272$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.08852132$

Этап 8.1.5

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.08852132$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Объединим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ и $0.08852132$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.08852132}{4}$

Этап 8.1.5.2

Умножим $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ на $0.08852132$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{0.34202014}{4}$

Этап 8.1.6

Разделим $0.34202014$ на $4$ .

$\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 1$

Этап 8.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$c$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$ умножим на $c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$ на $c$ .

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.08550503 c$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.08550503 c$

Этап 8.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.99619469 = 0.08550503 c$

Этап 8.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.08550503 c = 0.99619469$ .

$0.08550503 c = 0.99619469$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $0.08550503 c = 0.99619469$ на $0.08550503$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $0.08550503 c = 0.99619469$ на $0.08550503$ .

$\frac{0.08550503 c}{0.08550503} = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.08550503$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.08550503 c}{0.08550503} = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Разделим $0.99619469$ на $0.08550503$ .

$c = 11.65071376$