Тригонометрия Примеры

$\frac{4}{3} π r^{3} = 36 π$

Этап 1

Умножим обе части уравнения на $\frac{1}{\frac{4}{3} π}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $π$ .

$\frac{1}{\frac{4 π}{3}} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.1.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.1.1.3

Умножим $\frac{3}{4 π}$ на $1$ .

$\frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.1.1.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Вынесем множитель $π$ из $4 π$ .

$\frac{3}{π \cdot 4} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.1.1.4.2

Вынесем множитель $π$ из $\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$ .

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.1.1.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.1.1.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.1.1.5

Объединим $\frac{4}{3}$ и $r^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 r^{3}}{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.1.1.6

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{4 r^{3}}{3}$ .

$\frac{3 (4 r^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.1.1.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.7.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 r^{3}}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.1.1.7.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 r^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.1.1.8

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 r^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.1.1.8.2

Разделим $r^{3}$ на $1$ .

$r^{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $\frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $π$ из $\frac{4}{3} π$ .

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (36 π)$

Этап 2.2.1.1.2

Вынесем множитель $π$ из $36 π$ .

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (π \cdot 36)$

Этап 2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (π \cdot 36)$

Этап 2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$r^{3} = \frac{1}{\frac{4}{3}} \cdot 36$

Этап 2.2.1.2

Объединим $\frac{1}{\frac{4}{3}}$ и $36$ .

$r^{3} = \frac{36}{\frac{4}{3}}$

Этап 2.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$r^{3} = 36 (\frac{3}{4})$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$r^{3} = 4 (9) \frac{3}{4}$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$r^{3} = 4 \cdot 9 \frac{3}{4}$

Этап 2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$r^{3} = 9 \cdot 3$

Этап 2.2.1.5

Умножим $9$ на $3$ .

$r^{3} = 27$

Этап 3

Вычтем $27$ из обеих частей уравнения.

$r^{3} - 27 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$r^{3} - 3^{3} = 0$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = r$ и $b = 3$ .

$(r - 3) (r^{2} + r \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $3$ влево от $r$ .

$(r - 3) (r^{2} + 3 r + 3^{2}) = 0$

Этап 4.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(r - 3) (r^{2} + 3 r + 9) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r - 3 = 0$

$r^{2} + 3 r + 9 = 0$

Этап 6

Приравняем $r - 3$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $r - 3$ к $0$ .

$r - 3 = 0$

Этап 6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$r = 3$

Этап 7

Приравняем $r^{2} + 3 r + 9$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $r^{2} + 3 r + 9$ к $0$ .

$r^{2} + 3 r + 9 = 0$

Этап 7.2

Решим $r^{2} + 3 r + 9 = 0$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $r$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$r = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(r - 3) (r^{2} + 3 r + 9) = 0$ верно.

$r = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$