Тригонометрия Примеры

$5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$

Этап 1

Возведем в квадрат обе части уравнения.

${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Этап 2

Упростим ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ в виде $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ .

$(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.2

Развернем $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sin (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $5 \sin (t) (5 \sin (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$25 \sin (t) \sin (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.1.1.2

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.1.1.3

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 {\sin (t)}^{1 + 1} + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $5$ на $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.1.4

Умножим $5 \cos (t) (5 \cos (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Умножим $5$ на $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \cos (t) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.1.4.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.1.4.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 {\cos (t)}^{1 + 1} = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $25 \sin (t) \cos (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.3.3

Добавим $25 \cos (t) \sin (t)$ и $25 \cos (t) \sin (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $25$ из $25 \sin^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $25$ из $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.4.4

Вынесем множитель $25$ из $25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t))$ .

$25 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.5

Применим формулу Пифагора.

$25 \cdot 1 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Этап 2.6

Умножим $25$ на $1$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Этап 3

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = 25$

Этап 4

Перенесем все члены без $t$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$50 \cos (t) \sin (t) = 25 - 25$

Этап 4.2

Вычтем $25$ из $25$ .

$50 \cos (t) \sin (t) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (t) = 0$

$\sin (t) = 0$

Этап 6

Приравняем $\cos (t)$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (t)$ к $0$ .

$\cos (t) = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (t) = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$t = \arccos (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2.5

Найдем период $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.6

Период функции $\cos (t)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Приравняем $\sin (t)$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\sin (t)$ к $0$ .

$\sin (t) = 0$

Этап 7.2

Решим $\sin (t) = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$t = \arcsin (0)$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$t = 0$

Этап 7.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$t = π - 0$

Этап 7.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$t = π$

Этап 7.2.5

Найдем период $\sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.2.6

Период функции $\sin (t)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$t = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $50 \cos (t) \sin (t) = 0$ верно.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$t = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 10

Проверим каждое решение, подставив его в $5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$ и решив.

$t = π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$