Тригонометрия Примеры

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $889$ к обеим частям уравнения.

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $11 x^{2} + 22 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $22$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $22$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 11$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{11}{11}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{11}{11}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $22$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $11$ .

$e = 0 - \frac{484}{44}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $484$ на $44$ .

$e = 0 - 1 \cdot 11$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $11$ .

$e = 0 - 11$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $11$ из $0$ .

$e = - 11$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

Этап 1.3

Подставим $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ вместо $11 x^{2} + 22 x$ в уравнение $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

Этап 1.4

Перенесем $- 11$ в правую часть уравнения, прибавив $11$ к обеим частям.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- 25 y^{2} + 250 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $250$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $250$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{125}{- 25}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $125$ и $- 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Этап 1.5.3.2.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$d = - 5$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $250$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 25$ .

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $62500$ на $- 100$ .

$e = 0 - - 625$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 625$ .

$e = 0 + 625$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $625$ .

$e = 625$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ .

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

Этап 1.6

Подставим $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ вместо $- 25 y^{2} + 250 y$ в уравнение $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

Этап 1.7

Перенесем $625$ в правую часть уравнения, прибавив $625$ к обеим частям.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

Этап 1.8

Упростим $889 + 11 - 625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $889$ и $11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

Этап 1.8.2

Вычтем $625$ из $900$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $275$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

Этап 4

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 4.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, 5)$

Этап 4.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 4.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 6, 5)$

Этап 4.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(4, 5), (- 6, 5)$

Этап 5