Тригонометрия Примеры

$f (x) = 5 \cos (3 x) - 5$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 5 \cos (3 x) - 5$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $5 \cos (3 x) - 5 = 0$ .

$5 \cos (3 x) - 5 = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$5 \cos (3 x) = 5$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $5 \cos (3 x) = 5$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $5 \cos (3 x) = 5$ на $5$ .

$\frac{5 \cos (3 x)}{5} = \frac{5}{5}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cos (3 x)}{5} = \frac{5}{5}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $\cos (3 x)$ на $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{5}{5}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $5$ на $5$ .

$\cos (3 x) = 1$

Этап 1.2.4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$3 x = \arccos (1)$

Этап 1.2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$3 x = 0$

Этап 1.2.6

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 1.2.7

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x = 2 π - 0$

Этап 1.2.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 x = 2 π + 0$

Этап 1.2.8.1.2

Добавим $2 π$ и $0$ .

$3 x = 2 π$

Этап 1.2.8.2

Разделим каждый член $3 x = 2 π$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2 π$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Этап 1.2.8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Этап 1.2.8.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 1.2.9

Найдем период $\cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.9.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 1.2.9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 1.2.10

Период функции $\cos (3 x)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π n}{3}, \frac{2 π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.11

Объединим ответы.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

Точки пересечения с осью x: $(\frac{2 π n}{3}, 0)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 5 \cos (3 (0)) - 5$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 5 \cos (3 (0)) - 5$

Этап 2.2.2

Упростим $5 \cos (3 (0)) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$y = 5 \cos (0) - 5$

Этап 2.2.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$y = 5 \cdot 1 - 5$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $5$ на $1$ .

$y = 5 - 5$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$y = 0$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

Точки пересечения с осью x: $(\frac{2 π n}{3}, 0)$ , для любого целого $n$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 4