Тригонометрия Примеры

$\cos (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $[0, 2 π)$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$2 θ = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$2 θ = \frac{π}{6}$

Этап 3

Разделим каждый член $2 θ = \frac{π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Этап 4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Этап 5

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 5.1.4

Умножим $6$ на $2$ .

$2 θ = \frac{12 π - π}{6}$

Этап 5.1.5

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$2 θ = \frac{11 π}{6}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 θ = \frac{11 π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{11 π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим $\frac{11 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{11 π}{6 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$θ = \frac{11 π}{12}$

Этап 6

Найдем период $\cos (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Период функции $\cos (2 θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{12} + π (0)$

Этап 8.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{π}{12} + 0$

Этап 8.1.2.2

Добавим $\frac{π}{12}$ и $0$ .

$\frac{π}{12}$

Этап 8.1.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Этап 8.2

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{11 π}{12} + π (0)$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{11 π}{12} + 0$

Этап 8.2.2.2

Добавим $\frac{11 π}{12}$ и $0$ .

$\frac{11 π}{12}$

Этап 8.2.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{11 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}$

Этап 8.3

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{π}{12} + π (1)$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{π}{12} + π$

Этап 8.3.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Этап 8.3.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Этап 8.3.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + π \cdot 12}{12}$

Этап 8.3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Перенесем $12$ влево от $π$ .

$\frac{π + 12 \cdot π}{12}$

Этап 8.3.2.4.2

Добавим $π$ и $12 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

Этап 8.3.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{13 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

Этап 8.4

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{11 π}{12} + π (1)$

Этап 8.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{11 π}{12} + π$

Этап 8.4.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{11 π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Этап 8.4.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{11 π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Этап 8.4.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{11 π + π \cdot 12}{12}$

Этап 8.4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.4.1

Перенесем $12$ влево от $π$ .

$\frac{11 π + 12 \cdot π}{12}$

Этап 8.4.2.4.2

Добавим $11 π$ и $12 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Этап 8.4.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{23 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{23 π}{12}$