Тригонометрия Примеры

$4 \sin^{2} (x) - 3 = 0$ , $[0, 2 π)$

Этап 1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 \sin^{2} (x) = 3$

Этап 2

Разделим каждый член $4 \sin^{2} (x) = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $4 \sin^{2} (x) = 3$ на $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 7.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{3}$

Этап 7.4

Упростим $π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 7.4.3.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 7.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 8.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 8.4.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 8.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Этап 8.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 8.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 8.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 8.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Этап 8.6.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Этап 8.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 8.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{π}{3} + 2 π n$ и $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ и $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{3} + π (0)$

Этап 11.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{π}{3} + 0$

Этап 11.1.2.2

Добавим $\frac{π}{3}$ и $0$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 11.1.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 11.2

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{2 π}{3} + π (0)$

Этап 11.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Этап 11.2.2.2

Добавим $\frac{2 π}{3}$ и $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 11.2.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Этап 11.3

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{π}{3} + π (1)$

Этап 11.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{π}{3} + π$

Этап 11.3.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.3.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Этап 11.3.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + π \cdot 3}{3}$

Этап 11.3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.4.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{π + 3 \cdot π}{3}$

Этап 11.3.2.4.2

Добавим $π$ и $3 π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Этап 11.3.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Этап 11.4

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{2 π}{3} + π (1)$

Этап 11.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{2 π}{3} + π$

Этап 11.4.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.4.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Этап 11.4.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π + π \cdot 3}{3}$

Этап 11.4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.4.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{2 π + 3 \cdot π}{3}$

Этап 11.4.2.4.2

Добавим $2 π$ и $3 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Этап 11.4.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$