Тригонометрия Примеры

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

Этап 1

Заменим $2 \cos^{2} (x)$ на $2 (1 - \sin^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Этап 3

Вычтем $1$ из $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - (u) + 1 = 0$

Этап 5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 u^{2} - u + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Этап 5.1.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - u - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 u^{2}) - u$ .

$- (2 u^{2} + u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 u^{2} + u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Этап 5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$- (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Этап 5.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Этап 5.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Этап 5.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Этап 5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 7

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 8

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (2 u - 1) (u + 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 10

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 11

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 12.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 12.4

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 12.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 12.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 12.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 12.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 12.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 12.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 13.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 13.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 13.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 13.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 13.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 13.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 13.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 13.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 13.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 13.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 13.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 16

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

Этап 16.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $2 π (0)$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Этап 16.1.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Этап 16.1.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Этап 16.1.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Этап 16.1.2.1.1.2.4

Разделим $2 π \cdot (0)$ на $1$ .

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

Этап 16.1.2.1.2

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Этап 16.1.2.1.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Этап 16.1.2.2

Добавим $\frac{π}{6}$ и $0$ .

$\frac{π}{6}$

Этап 16.1.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 16.2

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

Этап 16.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Этап 16.2.2.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 16.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 16.2.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

Этап 16.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

Этап 16.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π + 4 π}{6}$

Этап 16.2.2.5.2

Добавим $π$ и $4 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Этап 16.2.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Этап 16.3

Подставим $2$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Подставим $2$ вместо $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

Этап 16.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

Этап 16.3.2.2

Чтобы записать $\frac{4 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 16.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.3.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 16.3.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

Этап 16.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

Этап 16.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{π + 8 π}{6}$

Этап 16.3.2.5.2

Добавим $π$ и $8 π$ .

$\frac{9 π}{6}$

Этап 16.3.2.6

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$\frac{3 (3 π)}{6}$

Этап 16.3.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

Этап 16.3.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

Этап 16.3.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 π}{2}$

Этап 16.3.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$