Тригонометрия Примеры

$\sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2$ , $[0, 2 π)$

Этап 1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$\frac{3 θ}{2} = arcsec (- 2)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arcsec (- 2)$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 4.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{3 \cdot 3}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Этап 4.2.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Этап 5

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{3 θ}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 6

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $\frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 6.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 6.2.2.1.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$

Этап 6.2.2.1.4

Умножим $\frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3 \cdot 3}$

Этап 6.2.2.1.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3 \cdot 3}$

Этап 6.2.2.1.4.3

Умножим $3$ на $3$ .

$θ = \frac{8 π}{9}$

Этап 7

Найдем период $\sec (\frac{3 θ}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{3}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Этап 7.3

$\frac{3}{2}$ приблизительно равно $1.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{3}$

Этап 7.5

Умножим $2 π \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Этап 7.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Этап 7.5.3

Объединим $\frac{4}{3}$ и $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Этап 8

Период функции $\sec (\frac{3 θ}{2})$ равен $\frac{4 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{4 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{4 π}{9} + \frac{4 π n}{3}, \frac{8 π}{9} + \frac{4 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

Этап 9.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $4 π (0)$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

Этап 9.1.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Этап 9.1.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Этап 9.1.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

Этап 9.1.2.1.1.2.4

Разделим $4 π \cdot (0)$ на $1$ .

$\frac{4 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

Этап 9.1.2.1.2

Умножим $4 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.2.1

Умножим $0$ на $4$ .

$\frac{4 π}{9} + 0 π$

Этап 9.1.2.1.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{4 π}{9} + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $\frac{4 π}{9}$ и $0$ .

$\frac{4 π}{9}$

Этап 9.1.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{4 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Этап 9.2

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

Этап 9.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $4 π (0)$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

Этап 9.2.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Этап 9.2.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Этап 9.2.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

Этап 9.2.2.1.1.2.4

Разделим $4 π \cdot (0)$ на $1$ .

$\frac{8 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

Этап 9.2.2.1.2

Умножим $4 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.2.1

Умножим $0$ на $4$ .

$\frac{8 π}{9} + 0 π$

Этап 9.2.2.1.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{8 π}{9} + 0$

Этап 9.2.2.2

Добавим $\frac{8 π}{9}$ и $0$ .

$\frac{8 π}{9}$

Этап 9.2.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{8 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}$

Этап 9.3

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (1)}{3}$

Этап 9.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3}$

Этап 9.3.2.2

Чтобы записать $\frac{4 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.3.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Этап 9.3.2.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{9}$

Этап 9.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 π + 4 π \cdot 3}{9}$

Этап 9.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.5.1

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{4 π + 12 π}{9}$

Этап 9.3.2.5.2

Добавим $4 π$ и $12 π$ .

$\frac{16 π}{9}$

Этап 9.3.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{16 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}, \frac{16 π}{9}$