Тригонометрия Примеры

$(\arctan (\frac{5}{x}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \frac{5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{5}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}} (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}$ .

$\frac{5}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{5}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{5}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

Этап 2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $\frac{5}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}$ и $x^{- 2}$ .

$- \frac{5 x^{- 2}}{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}$

Этап 2.4.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{(1 + {(\frac{5}{x})}^{2}) x^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{x}$ .

$- \frac{5}{(1 + \frac{5^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{5}{1 x^{2} + \frac{5^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$- \frac{5}{x^{2} + \frac{5^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Этап 3.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- \frac{5}{x^{2} + \frac{25}{x^{2}} x^{2}}$

Этап 3.3.3

Объединим $\frac{25}{x^{2}}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{5}{x^{2} + \frac{25 x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{5}{x^{2} + \frac{25 x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 3.3.4.2

Разделим $25$ на $1$ .

$- \frac{5}{x^{2} + 25}$