Тригонометрия Примеры

$y = e^{x - 1}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = e^{y - 1}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $e^{y - 1} = x$ .

$e^{y - 1} = x$

Этап 2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (x)$

Этап 2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $\ln (e^{y - 1})$ , вынося $y - 1$ из логарифма.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Этап 2.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Этап 2.3.3

Умножим $y - 1$ на $1$ .

$y - 1 = \ln (x)$

Этап 2.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \ln (x) + 1$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ обратной к $f (x) = e^{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (e^{x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x - 1$ из степени.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \ln (e) + 1$

Этап 4.2.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Этап 4.2.3.3

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x - 1 + 1$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\ln (x) + 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{(\ln (x) + 1) - 1}$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $(\ln (x) + 1) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x) + 0}$

Этап 4.3.3.2

Добавим $\ln (x)$ и $0$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x)}$

Этап 4.3.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (x) + 1) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ — обратная к $f (x) = e^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$