Тригонометрия Примеры

$\sin (θ) < 0$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ < \arcsin (0)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$θ < 0$

Этап 3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - 0$

Этап 4

Вычтем $0$ из $π$ .

$θ = π$

Этап 5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$θ = π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $0 < θ < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $0 < θ < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$θ = 2$

Этап 9.1.2

Заменим $θ$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sin (2) < 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $0.90929742$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $π < θ < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $π < θ < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$θ = 5$

Этап 9.2.2

Заменим $θ$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\sin (5) < 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $- 0.95892427$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < θ < π$ Ложь

$π < θ < 2 π$ Истина

$0 < θ < π$ Ложь

$π < θ < 2 π$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(π + 2 π n, 2 π + 2 π n)$

Этап 12