Тригонометрия Примеры

$x - \frac{70}{x} < - 3$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1$

Этап 1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 2

Каждый член в $x - \frac{70}{x} < - 3$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $x - \frac{70}{x} < - 3$ на $x$ .

$x \cdot x - \frac{70}{x} x < - 3 x$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - \frac{70}{x} x < - 3 x$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{70}{x}$ в числитель.

$x^{2} + \frac{- 70}{x} x < - 3 x$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{- 70}{x} x < - 3 x$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 70 < - 3 x$

Этап 3

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $3 x$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} - 70 + 3 x < 0$

Этап 3.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 70 + 3 x = 0$

Этап 3.3

Разложим $x^{2} - 70 + 3 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 70$ , а сумма — $3$ .

$- 7, 10$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 7) (x + 10) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 10 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 3.6

Приравняем $x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 10$ к $0$ .

$x + 10 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x = - 10$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x + 10) = 0$ верно.

$x = 7, - 10$

Этап 4

Найдем область определения $x - \frac{70}{x} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{70}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 10$

$- 10 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 12$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 12$ в исходном неравенстве.

$(- 12) - \frac{70}{- 12} < - 3$

Этап 6.1.3

Левая часть $- 6.1\overline{6}$ меньше правой части $- 3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- 10 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- 10 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$(- 5) - \frac{70}{- 5} < - 3$

Этап 6.2.3

Левая часть $9$ не меньше правой части $- 3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(4) - \frac{70}{4} < - 3$

Этап 6.3.3

Левая часть $- 13.5$ меньше правой части $- 3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$(10) - \frac{70}{10} < - 3$

Этап 6.4.3

Левая часть $3$ не меньше правой части $- 3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 10$ Истина

$- 10 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < - 10$ Истина

$- 10 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 10$ или $0 < x < 7$

Этап 8

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 10) \cup (0, 7)$

Этап 9