Тригонометрия Примеры

$(\frac{1}{\sqrt{10}}, - \frac{3}{\sqrt{10}})$

Этап 1

Чтобы найти $\cos (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(\frac{1}{\sqrt{10}}, - \frac{3}{\sqrt{10}})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(\frac{1}{\sqrt{10}}, 0)$ и $(\frac{1}{\sqrt{10}}, - \frac{3}{\sqrt{10}})$ .

Противоположное: $- \frac{3}{\sqrt{10}}$

Смежный: $\frac{1}{\sqrt{10}}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.2.6

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{10^{1}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.3

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.4

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{10^{1}}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.4.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{10}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.5

Возведем $10$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{10}{100} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $10$ и $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$\sqrt{\frac{10 (1)}{100} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вынесем множитель $10$ из $100$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $\frac{3}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- (\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}))}^{2}}$

Этап 2.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.8.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})}^{2}}$

Этап 2.8.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})}^{2}}$

Этап 2.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Этап 2.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})}^{2}}$

Этап 2.8.6

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Этап 2.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Этап 2.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Этап 2.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Этап 2.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10^{1}})}^{2}}$

Этап 2.8.6.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Этап 2.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Этап 2.9.2

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- 1)}^{2} \frac{{(3 \sqrt{10})}^{2}}{10^{2}}}$

Этап 2.9.3

Применим правило умножения к $3 \sqrt{10}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + 1 \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Этап 2.10.2

Умножим $\frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Этап 2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Этап 2.11.2

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Этап 2.11.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Этап 2.11.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Этап 2.11.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Этап 2.11.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{1}}{10^{2}}}$

Этап 2.11.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{10^{2}}}$

Этап 2.12

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{100}}$

Этап 2.12.2

Умножим $9$ на $10$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{90}{100}}$

Этап 2.12.3

Сократим общий множитель $90$ и $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Вынесем множитель $10$ из $90$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 (9)}{100}}$

Этап 2.12.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.2.1

Вынесем множитель $10$ из $100$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

Этап 2.12.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

Этап 2.12.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9}{10}}$

Этап 2.12.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1 + 9}{10}}$

Этап 2.12.4.2

Добавим $1$ и $9$ .

$\sqrt{\frac{10}{10}}$

Этап 2.12.4.3

Разделим $10$ на $10$ .

$\sqrt{1}$

Этап 2.12.4.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$1$

Этап 3

$\cos (θ) = \frac{Смежные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\cos (θ) = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{1}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{1}$

Этап 4

Упростим $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $\frac{1}{\sqrt{10}}$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Этап 4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 4.3.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 4.3.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Этап 4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 4.3.6

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Этап 4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0.31622776$