Тригонометрия Примеры

$f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$ в виде уравнения.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{4}{3} y + \frac{8}{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{4}{3} y + \frac{8}{3} = x$ .

$- \frac{4}{3} y + \frac{8}{3} = x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $y$ и $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{3} + \frac{8}{3} = x$

Этап 3.2.2

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$- \frac{4 y}{3} + \frac{8}{3} = x$

Этап 3.3

Вычтем $\frac{8}{3}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{4 y}{3} = x - \frac{8}{3}$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} (- \frac{4 y}{3}) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим $- \frac{3}{4} (- \frac{4 y}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$\frac{- 3}{4} (- \frac{4 y}{3}) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Этап 3.5.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 y}{3}$ в числитель.

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 y}{3} = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Этап 3.5.1.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 y}{3} = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Этап 3.5.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 y}{3} = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Этап 3.5.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{4} (- 4 y) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Этап 3.5.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 y$ .

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Этап 3.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Этап 3.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - y = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Этап 3.5.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Этап 3.5.1.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $- \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} (- \frac{8}{3})$

Этап 3.5.2.1.1.2

Объединим $x$ и $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} (- \frac{8}{3})$

Этап 3.5.2.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} (- \frac{8}{3})$

Этап 3.5.2.1.1.3.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{3}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 8}{3}$

Этап 3.5.2.1.1.3.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 8}{3}$

Этап 3.5.2.1.1.3.4

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 8}{3}$

Этап 3.5.2.1.1.3.5

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot - 8$

Этап 3.5.2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- 2))$

Этап 3.5.2.1.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

Этап 3.5.2.1.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - - 2$

Этап 3.5.2.1.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 2$

Этап 3.5.2.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{4} + 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{4} + 2$ обратной к $f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3})}{4} + 2$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Объединим $x$ и $\frac{4}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (- \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3})}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (- \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{8}{3})}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (\frac{- 4 x + 8}{3})}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (\frac{4 (- x) + 8}{3})}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.4.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (\frac{4 (- x) + 4 (2)}{3})}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (2)$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (\frac{4 (- x + 2)}{3})}{4} + 2$

Этап 5.2.3.2

Объединим $3$ и $\frac{4 (- x + 2)}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{3 (4 (- x + 2))}{3}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{12 (- x + 2)}{3}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим выражение $\frac{12 (- x + 2)}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12 (- x + 2)$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{3 (4 (- x + 2))}{3}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{3 (4 (- x + 2))}{3 (1)}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.4.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{3 (4 (- x + 2))}{3 \cdot 1}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.4.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{4 (- x + 2)}{1}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.4.2

Разделим $4 (- x + 2)$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{4 (- x + 2)}{4} + 2$

Этап 5.2.3.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{4 (- x + 2)}{4} + 2$

Этап 5.2.3.5.2

Разделим $- x + 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - (- x + 2) + 2$

Этап 5.2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x - 1 \cdot 2 + 2$

Этап 5.2.3.7

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = 1 x - 1 \cdot 2 + 2$

Этап 5.2.3.7.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x - 1 \cdot 2 + 2$

Этап 5.2.3.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x - 2 + 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{3 x}{4} + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{3 x}{4} + 2) + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{3 x}{4}) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3}$ в числитель.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 4}{3} \cdot (- \frac{3 x}{4}) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.2.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 x}{4}$ в числитель.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 x}{4} - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x}{4} - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.2.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x}{4} - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.2.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 1}{3} \cdot (- 3 x) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = - 1 (- x) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = 1 x - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.6

Умножим $- \frac{4}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x - 2 (\frac{4}{3}) + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.6.2

Объединим $- 2$ и $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x + \frac{- 2 \cdot 4}{3} + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.6.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x + \frac{- 8}{3} + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x - \frac{8}{3} + \frac{8}{3}$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - \frac{8}{3} + \frac{8}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- \frac{8}{3}$ и $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{4} + 2$ — обратная к $f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{4} + 2$