Тригонометрия Примеры

$25 x^{2} + 36 y^{2} - 350 x + 325 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $325$ из обеих частей уравнения.

$25 x^{2} + 36 y^{2} - 350 x = - 325$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $25 x^{2} - 350 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 25$

$b = - 350$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 350}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 350$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 350$ .

$d = \frac{2 \cdot - 175}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 175}{2 (25)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 175}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 175}{25}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 175$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $- 175$ .

$d = \frac{25 \cdot - 7}{25}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 7}{25 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{25 \cdot - 7}{25 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 7}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 7$ на $1$ .

$d = - 7$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 350)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 350$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{122500}{4 \cdot 25}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $25$ .

$e = 0 - \frac{122500}{100}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $122500$ на $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 1225$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1225$ .

$e = 0 - 1225$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $1225$ из $0$ .

$e = - 1225$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $25 {(x - 7)}^{2} - 1225$ .

$25 {(x - 7)}^{2} - 1225$

Этап 1.3

Подставим $25 {(x - 7)}^{2} - 1225$ вместо $25 x^{2} - 350 x$ в уравнение $25 x^{2} + 36 y^{2} - 350 x = - 325$ .

$25 {(x - 7)}^{2} - 1225 + 36 y^{2} = - 325$

Этап 1.4

Перенесем $- 1225$ в правую часть уравнения, прибавив $1225$ к обеим частям.

$25 {(x - 7)}^{2} + 36 y^{2} = - 325 + 1225$

Этап 1.5

Добавим $- 325$ и $1225$ .

$25 {(x - 7)}^{2} + 36 y^{2} = 900$

Этап 1.6

Разделим каждый член на $900$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{25 {(x - 7)}^{2}}{900} + \frac{36 y^{2}}{900} = \frac{900}{900}$

Этап 1.7

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 7)}^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 6$

$b = 5$

$k = 0$

$h = 7$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\sqrt{36 - {(5)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 25}$

Этап 4.3.3

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\sqrt{36 - 25}$

Этап 4.3.4

Вычтем $25$ из $36$ .

$\sqrt{11}$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(7 + \sqrt{11}, 0)$

Этап 5.3

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 5.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(7 - (\sqrt{11}), 0)$

Этап 5.5

Упростим.

$(7 - \sqrt{11}, 0)$

Этап 5.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(7 + \sqrt{11}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(7 - \sqrt{11}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(7 + \sqrt{11}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(7 - \sqrt{11}, 0)$

Этап 6