Тригонометрия Примеры

$3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $3 x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = 6$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (3)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{3}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3}{3}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $36$ на $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$e = 0 - 3$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$e = - 3$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(x + 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3$

Этап 1.3

Подставим $3 {(x + 1)}^{2} - 3$ вместо $3 x^{2} + 6 x$ в уравнение $3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 + y^{2} - 8 y = 11$

Этап 1.4

Перенесем $- 3$ в правую часть уравнения, прибавив $3$ к обеим частям.

$3 {(x + 1)}^{2} + y^{2} - 8 y = 11 + 3$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $y^{2} - 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$d = - 4$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $64$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

Этап 1.6

Подставим ${(y - 4)}^{2} - 16$ вместо $y^{2} - 8 y$ в уравнение $3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = 11 + 3$

Этап 1.7

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 11 + 3 + 16$

Этап 1.8

Упростим $11 + 3 + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $11$ и $3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 14 + 16$

Этап 1.8.2

Добавим $14$ и $16$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 30$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $30$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{30} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{30} = \frac{30}{30}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{10} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{30} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \sqrt{30}$

$b = \sqrt{10}$

$k = 4$

$h = - 1$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\sqrt{30})}^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем ${\sqrt{30}}^{2}$ в виде $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{30}$ в виде $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{30^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Этап 4.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{30^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Этап 4.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{30^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Этап 4.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{30^{1} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Этап 4.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{30 - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{30 - {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{30 - 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{30 - 10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{30 - 10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{30 - 10^{1}}$

Этап 4.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{30 - 1 \cdot 10}$

Этап 4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\sqrt{30 - 10}$

Этап 4.3.3.2

Вычтем $10$ из $30$ .

$\sqrt{20}$

Этап 4.3.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Этап 4.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{5}$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

Этап 5.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 5.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 4 - (2 \sqrt{5}))$

Этап 5.5

Упростим.

$(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

Этап 5.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

Этап 6