Тригонометрия Примеры

$4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 50 y = 59$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $4 x^{2} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = 16$

$c = 0$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{8}{4}$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4}$

Этап 1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Этап 1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Разделим $256$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x + 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x + 2)}^{2} - 16$

Этап 1.2

Подставим $4 {(x + 2)}^{2} - 16$ вместо $4 x^{2} + 16 x$ в уравнение $4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 50 y = 59$ .

$4 {(x + 2)}^{2} - 16 + 25 y^{2} - 50 y = 59$

Этап 1.3

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 y^{2} - 50 y = 59 + 16$

Этап 1.4

Составим полный квадрат для $25 y^{2} - 50 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 25$

$b = - 50$

$c = 0$

Этап 1.4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 50}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 50$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 50$ .

$d = \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 25}{2 (25)}$

Этап 1.4.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 25}{25}$

Этап 1.4.3.2.2

Сократим общий множитель $- 25$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $- 25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 1}{25}$

Этап 1.4.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 1}{25 (1)}$

Этап 1.4.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{25 \cdot - 1}{25 \cdot 1}$

Этап 1.4.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.4.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 50)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Этап 1.4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1.1

Возведем $- 50$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{2500}{4 \cdot 25}$

Этап 1.4.4.2.1.2

Умножим $4$ на $25$ .

$e = 0 - \frac{2500}{100}$

Этап 1.4.4.2.1.3

Разделим $2500$ на $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Этап 1.4.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$e = 0 - 25$

Этап 1.4.4.2.2

Вычтем $25$ из $0$ .

$e = - 25$

Этап 1.4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $25 {(y - 1)}^{2} - 25$ .

$25 {(y - 1)}^{2} - 25$

Этап 1.5

Подставим $25 {(y - 1)}^{2} - 25$ вместо $25 y^{2} - 50 y$ в уравнение $4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 50 y = 59$ .

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 1)}^{2} - 25 = 59 + 16$

Этап 1.6

Перенесем $- 25$ в правую часть уравнения, прибавив $25$ к обеим частям.

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 1)}^{2} = 59 + 16 + 25$

Этап 1.7

Упростим $59 + 16 + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $59$ и $16$ .

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 1)}^{2} = 75 + 25$

Этап 1.7.2

Добавим $75$ и $25$ .

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 1)}^{2} = 100$

Этап 1.8

Разделим каждый член на $100$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{100} + \frac{25 {(y - 1)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Этап 1.9

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = - 2$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

Этап 4.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{25 - 4}$

Этап 4.3.4

Вычтем $4$ из $25$ .

$\sqrt{21}$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 2 + \sqrt{21}, 1)$

Этап 5.3

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 5.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 2 - (\sqrt{21}), 1)$

Этап 5.5

Упростим.

$(- 2 - \sqrt{21}, 1)$

Этап 5.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{21}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{21}, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{21}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{21}, 1)$

Этап 6