Тригонометрия Примеры

$\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{11} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{11} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \sqrt{11}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\sqrt{11})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{11^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{11^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{11^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{11^{1} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{11 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{11 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{11 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{11 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{11 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{11 - 5^{1}}$

Этап 4.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{11 - 1 \cdot 5}$

Этап 4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\sqrt{11 - 5}$

Этап 4.3.3.2

Вычтем $5$ из $11$ .

$\sqrt{6}$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + \sqrt{6})$

Этап 5.3

Упростим.

$(0, \sqrt{6})$

Этап 5.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 5.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (\sqrt{6}))$

Этап 5.6

Упростим.

$(0, - \sqrt{6})$

Этап 5.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{6})$

Этап 6