Тригонометрия Примеры

$\tan (θ) = - \frac{8}{15}$ , $\cos (θ) < 0$

Этап 1

Косинус принимает отрицательные значения во втором и третьем квадрантах. Тангенс принимает отрицательные значения во втором и четвертом квадрантах. Множество решений для $θ$ ограничивается вторым квадрантом, так как это единственный квадрант, найденный в обоих множествах.

Решение находится во втором квадранте.

Этап 2

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\tan (θ) = \frac{противоположные}{смежные}$

Этап 3

Найдем гипотенузу треугольника в единичной окружности. Поскольку известны противолежащая и прилежащая стороны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Гипотенуза = \sqrt{{противоположные}^{2} + {смежные}^{2}}$

Этап 4

Заменим известные значения в уравнении.

$Гипотенуза = \sqrt{{(8)}^{2} + {(- 15)}^{2}}$

Этап 5

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{64 + {(- 15)}^{2}}$

Этап 5.2

Возведем $- 15$ в степень $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{64 + 225}$

Этап 5.3

Добавим $64$ и $225$ .

Гипотенуза $= \sqrt{289}$

Этап 5.4

Перепишем $289$ в виде $17^{2}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{17^{2}}$

Этап 5.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

Гипотенуза $= 17$

Этап 6

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\sin (θ) = \frac{8}{17}$

Этап 7

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\cos (θ) = \frac{- 15}{17}$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (θ) = - \frac{15}{17}$

Этап 8

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{- 15}{8}$

Этап 8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cot (θ) = - \frac{15}{8}$

Этап 9

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\sec (θ) = \frac{17}{- 15}$

Этап 9.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sec (θ) = - \frac{17}{15}$

Этап 10

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 10.2

Подставим известные значения.

$\csc (θ) = \frac{17}{8}$

Этап 11

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = \frac{8}{17}$

$\cos (θ) = - \frac{15}{17}$

$\tan (θ) = - \frac{8}{15}$

$\cot (θ) = - \frac{15}{8}$

$\sec (θ) = - \frac{17}{15}$

$\csc (θ) = \frac{17}{8}$