Тригонометрия Примеры

$f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 4 \sin (x - 0.5) + 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \sin (x - 0.5)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x - 0.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 0.5$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 0.5$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x - 0.5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 0.5$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.2.7

Умножим $\cos (x - 0.5)$ на $1$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $- 4 \cos (x - 0.5)$ и $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \cos (x - 0.5)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x - 0.5)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (x - 0.5)$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x - 0.5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 0.5$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + 0)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) \cdot 1$

Этап 2.3.5.2

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\cos (x - 0.5)$ на $1$ .

$\cos (x - 0.5) = \frac{0}{- 4}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 4$ .

$\cos (x - 0.5) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x - 0.5 = \arccos (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{π}{2}$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $0.5$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{π}{2} + 0.5$

Этап 7.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0.5$ .

$x = 2.07079632$

Этап 8

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x - 0.5 = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 9.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x - 0.5 = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 9.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x - 0.5 = \frac{3 π}{2}$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0.5$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{3 π}{2} + 0.5$

Этап 9.2.2

Добавим $\frac{3 π}{2}$ и $0.5$ .

$x = 5.21238898$

Этап 10

Решение уравнения $x - 0.5 = \frac{π}{2}$ .

$x = 2.07079632, 5.21238898$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = 2.07079632$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \sin ((2.07079632) - 0.5)$

Этап 12

Вычтем $0.5$ из $2.07079632$ .

$4 \sin (1.57079632)$

Этап 13

$x = 2.07079632$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2.07079632$ — локальный минимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = 2.07079632$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.07079632$ .

$f (2.07079632) = - 4 \sin ((2.07079632) - 0.5) + 11$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вычтем $0.5$ из $2.07079632$ .

$f (2.07079632) = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Этап 14.2.2

Окончательный ответ: $- 4 \sin (1.57079632) + 11$ .

$y = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = 5.21238898$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \sin ((5.21238898) - 0.5)$

Этап 16

Вычтем $0.5$ из $5.21238898$ .

$4 \sin (4.71238898)$

Этап 17

$x = 5.21238898$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 5.21238898$ — локальный максимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = 5.21238898$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5.21238898$ .

$f (5.21238898) = - 4 \sin ((5.21238898) - 0.5) + 11$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Вычтем $0.5$ из $5.21238898$ .

$f (5.21238898) = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Этап 18.2.2

Окончательный ответ: $- 4 \sin (4.71238898) + 11$ .

$y = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$ .

$(2.07079632, - 4 \sin (1.57079632) + 11)$ — локальный минимум

$(5.21238898, - 4 \sin (4.71238898) + 11)$ — локальный максимум

Этап 20