Тригонометрия Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} \cos (2 x) - 1$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.7

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.8

Объединим $\frac{- 2}{2}$ и $\sin (2 x)$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.9

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (2 x)$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sin (2 x)}{1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.9.2.4

Разделим $- \sin (2 x)$ на $1$ .

$- \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \sin (2 x) + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $- \sin (2 x)$ и $0$ .

$- \sin (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) \cdot 1$

Этап 2.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \sin (2 x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- \sin (2 x) = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- \sin (2 x) = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (2 x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (2 x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\sin (2 x) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 7

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 x = π + 0$

Этап 9.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$2 x = π$

Этап 9.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 10

Решение уравнения $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (2 (0))$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $2$ на $0$ .

$- 2 \cos (0)$

Этап 12.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 12.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 13

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (0)) - 1$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \cos (0) - 1$

Этап 14.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 1 - 1$

Этап 14.2.1.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2} - 1$

Этап 14.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 14.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 14.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (0) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 14.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (0) = \frac{1 - 2}{2}$

Этап 14.2.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (0) = \frac{- 1}{2}$

Этап 14.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (0) = - \frac{1}{2}$

Этап 14.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \cos (2 \frac{π}{2})$

Этап 16.1.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \cos (π)$

Этап 16.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 2 (- \cos (0))$

Этап 16.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 16.4

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Этап 16.4.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2$

Этап 17

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (\frac{π}{2})) - 1$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (\frac{π}{2})) - 1$

Этап 18.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (π) - 1$

Этап 18.2.1.2

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (- \cos (0)) - 1$

Этап 18.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) - 1$

Этап 18.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot - 1 - 1$

Этап 18.2.1.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1}{2} - 1$

Этап 18.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} - 1$

Этап 18.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 18.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 18.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 18.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Этап 18.2.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Этап 18.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{3}{2}$

Этап 18.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) - 1$ .

$(0, - \frac{1}{2})$ — локальный максимум

$(\frac{π}{2}, - \frac{3}{2})$ — локальный минимум

Этап 20