Тригонометрия Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 3 \\ c = \\ a = & 4 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{3} = \frac{\sin (30)}{4}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{\sin (B)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{4}$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{\sin (B)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{4}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 3 \frac{\sin (30)}{4}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 \frac{\sin (30)}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 3 \frac{\frac{1}{2}}{4}$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (B) = 3 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\sin (B) = 3 \frac{1}{2 \cdot 4}$

Этап 3.2.2.1.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\sin (B) = 3 (\frac{1}{8})$

Этап 3.2.2.1.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{8}$ .

$\sin (B) = \frac{3}{8}$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (\frac{3}{8})$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{3}{8})$ .

$B = 22.02431283$

Этап 3.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 22.02431283$

Этап 3.6

Вычтем $22.02431283$ из $180$ .

$B = 157.97568716$

Этап 3.7

Решение уравнения $B = 22.02431283$ .

$B = 22.02431283, 157.97568716$

Этап 3.8

Исключим недопустимый угол.

$B = 22.02431283$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$30 + C + 22.02431283 = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $30$ и $22.02431283$ .

$C + 52.02431283 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $52.02431283$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 52.02431283$

Этап 5.2.2

Вычтем $52.02431283$ из $180$ .

$C = 127.97568716$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (127.97568716)}{c} = \frac{\sin (30)}{4}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\sin (127.97568716)$ .

$\frac{0.78827193}{c} = \frac{\sin (30)}{4}$

Этап 8.1.2

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.78827193}{c} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

Этап 8.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{0.78827193}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 8.1.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{0.78827193}{c} = \frac{1}{2 \cdot 4}$

Этап 8.1.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{0.78827193}{c} = \frac{1}{8}$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 8$

Этап 8.2.2

Так как $c, 8$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 8$ , затем найдем НОК для части с переменной $c^{1}$ .

Этап 8.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 8.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 8.2.5

Простыми множителями $8$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 4$

Этап 8.2.5.2

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 8.2.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2$

Этап 8.2.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8$

Этап 8.2.7

Множителем $c^{1}$ является само значение $c$ .

$c^{1} = c$

$c$ встречается $1$ раз.

Этап 8.2.8

НОК $c^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$c$

Этап 8.2.9

НОК $c, 8$ представляет собой произведение числовой части $8$ и переменной части.

$8 c$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{0.78827193}{c} = \frac{1}{8}$ умножим на $8 c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.78827193}{c} = \frac{1}{8}$ на $8 c$ .

$\frac{0.78827193}{c} (8 c) = \frac{1}{8} (8 c)$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 \frac{0.78827193}{c} c = \frac{1}{8} (8 c)$

Этап 8.3.2.2

Умножим $8 \frac{0.78827193}{c}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Объединим $8$ и $\frac{0.78827193}{c}$ .

$\frac{8 \cdot 0.78827193}{c} c = \frac{1}{8} (8 c)$

Этап 8.3.2.2.2

Умножим $8$ на $0.78827193$ .

$\frac{6.30617545}{c} c = \frac{1}{8} (8 c)$

Этап 8.3.2.3

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6.30617545}{c} c = \frac{1}{8} (8 c)$

Этап 8.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$6.30617545 = \frac{1}{8} (8 c)$

Этап 8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 c$ .

$6.30617545 = \frac{1}{8} (8 (c))$

Этап 8.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$6.30617545 = \frac{1}{8} (8 c)$

Этап 8.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$6.30617545 = c$

Этап 8.4

Перепишем уравнение в виде $c = 6.30617545$ .

$c = 6.30617545$

Этап 9

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 30$

$B = 22.02431283$

$C = 127.97568716$

$a = 4$

$b = 3$

$c = 6.30617545$