Тригонометрия Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 23 \\ c = \\ a = & 14 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 105 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{14} = \frac{\sin (105)}{23}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $14$ .

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $14 \frac{\sin (105)}{23}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Точное значение $\sin (105)$ : $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (75)}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30 + 45)}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.3

Применим формулу для суммы углов.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.4

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.5

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.6

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.7

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.8

Упростим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.8.1.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.8.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.8.1.2.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.8.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.8.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{23}$

Этап 3.2.2.1.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{23}$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (A) = 14 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23})$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ на $\frac{1}{23}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 23}$

Этап 3.2.2.1.3.2

Умножим $4$ на $23$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

Этап 3.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$\sin (A) = 2 (7) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

Этап 3.2.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $92$ .

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

Этап 3.2.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

Этап 3.2.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$

Этап 3.2.2.1.5

Объединим $7$ и $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46}$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$ .

$A = 36.01201213$

Этап 3.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 36.01201213$

Этап 3.6

Вычтем $36.01201213$ из $180$ .

$A = 143.98798786$

Этап 3.7

Решение уравнения $A = 36.01201213$ .

$A = 36.01201213, 143.98798786$

Этап 3.8

Исключим недопустимый угол.

$A = 36.01201213$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$36.01201213 + C + 105 = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $36.01201213$ и $105$ .

$C + 141.01201213 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $141.01201213$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 141.01201213$

Этап 5.2.2

Вычтем $141.01201213$ из $180$ .

$C = 38.98798786$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (38.98798786)}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\sin (38.98798786)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

Этап 8.1.2

Найдем значение $\sin (36.01201213)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{0.58795485}{14}$

Этап 8.1.3

Разделим $0.58795485$ на $14$ .

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 1$

Этап 8.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$c$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ умножим на $c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ на $c$ .

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

Этап 8.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.62915744 = 0.04199677 c$

Этап 8.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.04199677 c = 0.62915744$ .

$0.04199677 c = 0.62915744$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $0.04199677 c = 0.62915744$ на $0.04199677$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $0.04199677 c = 0.62915744$ на $0.04199677$ .

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.04199677$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Разделим $0.62915744$ на $0.04199677$ .

$c = 14.98108954$

Этап 9

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 36.01201213$

$B = 105$

$C = 38.98798786$

$a = 14$

$b = 23$

$c = 14.98108954$