Тригонометрия Примеры

$\frac{13 x + 2}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

$\frac{A}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{B}{3 x + 1}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(3 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(13 x + 2) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель ${(3 x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(13 x + 2) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

Этап 1.4.2

Разделим $13 x + 2$ на $1$ .

$13 x + 2 = \frac{(A) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель ${(3 x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$13 x + 2 = \frac{A {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

Этап 1.5.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$13 x + 2 = A + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель ${(3 x + 1)}^{2}$ и $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $(B) {(3 x + 1)}^{2}$ .

$13 x + 2 = A + \frac{(3 x + 1) (B (3 x + 1))}{3 x + 1}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Умножим на $1$ .

$13 x + 2 = A + \frac{(3 x + 1) (B (3 x + 1))}{(3 x + 1) \cdot 1}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$13 x + 2 = A + \frac{(3 x + 1) (B (3 x + 1))}{(3 x + 1) \cdot 1}$

Этап 1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$13 x + 2 = A + \frac{B (3 x + 1)}{1}$

Этап 1.5.2.2.4

Разделим $B (3 x + 1)$ на $1$ .

$13 x + 2 = A + B (3 x + 1)$

Этап 1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$13 x + 2 = A + B (3 x) + B \cdot 1$

Этап 1.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$13 x + 2 = A + 3 B x + B \cdot 1$

Этап 1.5.5

Умножим $B$ на $1$ .

$13 x + 2 = A + 3 B x + B$

Этап 1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $B$ .

$13 x + 2 = A + 3 x B + B$

Этап 1.6.2

Изменим порядок $A$ и $3 x B$ .

$13 x + 2 = 3 x B + A + B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$13 = 3 B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$13 = 3 B$

$2 = A + B$

$13 = 3 B$

$2 = A + B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $B$ в $13 = 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $3 B = 13$ .

$3 B = 13$

$2 = A + B$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $3 B = 13$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $3 B = 13$ на $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 B}{3} = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{13}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $2 = A + B$ на $\frac{13}{3}$ .

$2 = A + \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$2 = A + \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Этап 3.3

Решим относительно $A$ в $2 = A + \frac{13}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A + \frac{13}{3} = 2$ .

$A + \frac{13}{3} = 2$

$B = \frac{13}{3}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $\frac{13}{3}$ из обеих частей уравнения.

$A = 2 - \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Этап 3.3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$A = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{2 \cdot 3 - 13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Этап 3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$A = \frac{6 - 13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Этап 3.3.2.5.2

Вычтем $13$ из $6$ .

$A = \frac{- 7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$A = \frac{- 7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Этап 3.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$A = - \frac{7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$A = - \frac{7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Этап 3.4

Решим систему уравнений.

$A = - \frac{7}{3} B = \frac{13}{3}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{7}{3}, B = \frac{13}{3}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{B}{3 x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{7}{3}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{\frac{13}{3}}{3 x + 1}$