Тригонометрия Примеры

Решить треугольник tri{}{60}{10}{}{9}{}
Этап 1
Теорема синусов дает неоднозначный результат. Это указывает на существование углов, при которых уравнение имеет корректное решение. Для первого треугольника используем первое возможное значение угла.
Найдем решение для первого треугольника.
Этап 2
Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
Этап 3
Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти .
Этап 4
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Умножим обе части уравнения на .
Этап 4.2
Упростим обе части уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.2.1.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.1.1
Точное значение : .
Этап 4.2.2.1.2
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 4.2.2.1.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.1.3.1
Умножим на .
Этап 4.2.2.1.3.2
Умножим на .
Этап 4.2.2.1.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.2.2.1.4.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.2.2.1.4.3
Сократим общий множитель.
Этап 4.2.2.1.4.4
Перепишем это выражение.
Этап 4.2.2.1.5
Объединим и .
Этап 4.3
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 4.4
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.1
Найдем значение .
Этап 4.5
Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из и найдем решение во втором квадранте.
Этап 4.6
Вычтем из .
Этап 4.7
Решение уравнения .
Этап 5
Сумма всех углов треугольника составляет градусов.
Этап 6
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Добавим и .
Этап 6.2
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 6.2.2
Вычтем из .
Этап 7
Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
Этап 8
Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти .
Этап 9
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Разложим на множители каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1.1
Найдем значение .
Этап 9.1.2
Точное значение : .
Этап 9.1.3
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 9.1.4
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1.4.1
Умножим на .
Этап 9.1.4.2
Умножим на .
Этап 9.2
Найдем НОК знаменателей членов уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.1
Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.
Этап 9.2.2
Since contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part then find LCM for the variable part .
Этап 9.2.3
НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.
1. Перечислим простые множители каждого числа.
2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.
Этап 9.2.4
Число не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.
Не является простым
Этап 9.2.5
Простыми множителями являются .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.5.1
У есть множители: и .
Этап 9.2.5.2
У есть множители: и .
Этап 9.2.6
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.6.1
Умножим на .
Этап 9.2.6.2
Умножим на .
Этап 9.2.7
Множителем является само значение .
встречается раз.
Этап 9.2.8
НОК представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.
Этап 9.2.9
НОК представляет собой произведение числовой части и переменной части.
Этап 9.3
Каждый член в умножим на , чтобы убрать дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.1
Умножим каждый член на .
Этап 9.3.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.2.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 9.3.2.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.2.2.1
Объединим и .
Этап 9.3.2.2.2
Умножим на .
Этап 9.3.2.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.2.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 9.3.2.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 9.3.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.3.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.3.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.3.3.1.2
Сократим общий множитель.
Этап 9.3.3.1.3
Перепишем это выражение.
Этап 9.4
Решим уравнение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.4.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 9.4.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.4.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 9.4.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.4.2.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.4.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 9.4.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 9.4.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.4.2.3.1
Умножим на .
Этап 9.4.2.3.2
Объединим и упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.4.2.3.2.1
Умножим на .
Этап 9.4.2.3.2.2
Возведем в степень .
Этап 9.4.2.3.2.3
Возведем в степень .
Этап 9.4.2.3.2.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 9.4.2.3.2.5
Добавим и .
Этап 9.4.2.3.2.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.4.2.3.2.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 9.4.2.3.2.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 9.4.2.3.2.6.3
Объединим и .
Этап 9.4.2.3.2.6.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.4.2.3.2.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 9.4.2.3.2.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 9.4.2.3.2.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 9.4.2.3.3
Умножим на .
Этап 9.4.2.3.4
Разделим на .
Этап 10
Для второго треугольника воспользуемся вторым возможным значением угла.
Найдем решение для второго треугольника.
Этап 11
Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
Этап 12
Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти .
Этап 13
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Умножим обе части уравнения на .
Этап 13.2
Упростим обе части уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.2.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.2.1.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.2.1.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 13.2.1.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 13.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.2.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.2.2.1.1
Точное значение : .
Этап 13.2.2.1.2
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 13.2.2.1.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.2.2.1.3.1
Умножим на .
Этап 13.2.2.1.3.2
Умножим на .
Этап 13.2.2.1.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.2.2.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 13.2.2.1.4.2
Вынесем множитель из .
Этап 13.2.2.1.4.3
Сократим общий множитель.
Этап 13.2.2.1.4.4
Перепишем это выражение.
Этап 13.2.2.1.5
Объединим и .
Этап 13.3
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 13.4
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.4.1
Найдем значение .
Этап 13.5
Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из и найдем решение во втором квадранте.
Этап 13.6
Вычтем из .
Этап 13.7
Решение уравнения .
Этап 14
Сумма всех углов треугольника составляет градусов.
Этап 15
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Добавим и .
Этап 15.2
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 15.2.2
Вычтем из .
Этап 16
Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
Этап 17
Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти .
Этап 18
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.1
Разложим на множители каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.1.1
Найдем значение .
Этап 18.1.2
Точное значение : .
Этап 18.1.3
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 18.1.4
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.1.4.1
Умножим на .
Этап 18.1.4.2
Умножим на .
Этап 18.2
Найдем НОК знаменателей членов уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.2.1
Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.
Этап 18.2.2
Since contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part then find LCM for the variable part .
Этап 18.2.3
НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.
1. Перечислим простые множители каждого числа.
2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.
Этап 18.2.4
Число не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.
Не является простым
Этап 18.2.5
Простыми множителями являются .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.2.5.1
У есть множители: и .
Этап 18.2.5.2
У есть множители: и .
Этап 18.2.6
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.2.6.1
Умножим на .
Этап 18.2.6.2
Умножим на .
Этап 18.2.7
Множителем является само значение .
встречается раз.
Этап 18.2.8
НОК представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.
Этап 18.2.9
НОК представляет собой произведение числовой части и переменной части.
Этап 18.3
Каждый член в умножим на , чтобы убрать дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.1
Умножим каждый член на .
Этап 18.3.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.2.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 18.3.2.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.2.2.1
Объединим и .
Этап 18.3.2.2.2
Умножим на .
Этап 18.3.2.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.2.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 18.3.2.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 18.3.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.3.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.3.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 18.3.3.1.2
Сократим общий множитель.
Этап 18.3.3.1.3
Перепишем это выражение.
Этап 18.4
Решим уравнение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.4.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 18.4.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.4.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 18.4.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.4.2.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.4.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 18.4.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 18.4.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.4.2.3.1
Умножим на .
Этап 18.4.2.3.2
Объединим и упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.4.2.3.2.1
Умножим на .
Этап 18.4.2.3.2.2
Возведем в степень .
Этап 18.4.2.3.2.3
Возведем в степень .
Этап 18.4.2.3.2.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 18.4.2.3.2.5
Добавим и .
Этап 18.4.2.3.2.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.4.2.3.2.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 18.4.2.3.2.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 18.4.2.3.2.6.3
Объединим и .
Этап 18.4.2.3.2.6.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.4.2.3.2.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 18.4.2.3.2.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 18.4.2.3.2.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 18.4.2.3.3
Умножим на .
Этап 18.4.2.3.4
Разделим на .
Этап 19
Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.
Комбинация первого треугольника:
Комбинация второго треугольника: